Page 91 - 4443

∞ ( ) ∞
∑ 1 i(−1) n ∑ 1+in
Приклад 12.3. Дослідити на збіжність ряди: а) 2 n + n ; б) 2n +3 ;
2
n=1 i=1
∞ (
∑ 2−i ) n
в) . ,
3
n=1
Розв’язання. а) Розглянемо відповідні ряди з дійсними членами ∑ 1 n i ∑ (−1) n . Перший з них
∞
∞
n=1 2 n=1 n
є збіжним як геометрична прогресія із знаменником q = 1 < 1, а другий збігається за ознакою
2
Лейбніца. Отже, за теоремою 12.4 даний ряд збіжний,
∞
∞ ∑
∑
1
б) Розглянемо відповідні ряди з дійсними членами 2n +3 i 2n +3 . За допомогою, наприклад,
n
2
2
n=1 n=1
інтегральної ознаки Коші можна переконатись, що перший з цих рядів збіжний, а другий розбіжний.
Отже, за теоремою 12.4 даний ряд розбіжний.
в) Скористаємось теоремою 12.5. Складемо ряд з модулів членів даного ряду:
( √ ) n
n
∞ ( ) ∞ n ∞
∑ 2 − i ∑ 2 − i ∑ 5
= = .
3 3 3
n=1 n=1 n=1
√
Цей ряд збіжний, бо є геометричною прогресією, в якої знаменник q = 3 5 < 1. Отже, даний ряд
абсолютно збіжний.

Тема 13. Функціональні ряди

Поняття про функціональні ряди

Перейдемо тепер до вивчення функціональних рядів, тобто рядів, членами яких є не числа, а
функції, визначені на деякій множині E :

∞
∑
u 1 (x) + u 2 (x) + · · · + u n (x) + · · · = u n (x). (13.1)
n=1
Якщо взяти довільне число x 0 ∈ E і в ряді (13.1) покласти x = x 0 , то дістанемо числовий ряд

∞
∑
u 1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + · · · + u n (x 0 ) + · · · = u n (x 0 ). (13.2)
n=1
Цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Якщо ряд (13.2) є збіжним, то точка x 0 нази-
вається точкою збіжності функціонального ряду (13.1). Якщо ж ряд (13.2) є розбіжним, то точка
x 0 називається точкою розбіжності ряду (13.1).

Означення 13.1. Множина всіх точок збіжності функціонального ряду називає-
ться областю його збіжності. ✓

Область збіжності функціонального ряду може або збігатися з множиною E, на якій визна-
чені члени ряду, або становити деяку частину цієї множини.
Частинна сума функціонального ряду є функцією від x і визначається за аналогією з число-
вими рядами:
S n (x) = u 1 (x) + u 2 (x) + · · · u n (x).

91