Page 90 - 4443

Знакозмінні ряди

Зв’язок між границею послідовності комплексних чисел {z n } = {x n + iy n } та границями
послідовностей дійсних чисел {x n } i {y n } встановлює така теорема:

Теорема 12.3.

Для того, щоб послідовність {z n } мала скінченну границю z = a + ib, необхідно і до-
статньо, щоб послідовності {x n } та {y n } мали скінченні границі, які дорівнюють від-
повідно a та b. ⋆

Означення 12.6. Вираз виду

∞
∑
z 1 + z 2 + · · · + z n + · · · = z n , (12.7)
n=1 ✓
де z n = z n + iy n , n = 1, 2, . . . — комплексні числа, називають числовим рядом з компле-
ксними членами.

Означення 12.7. Суми S 1 = z 1 , S 2 = z 1 + z 2 , . . . , S n = z 1 + z 2 + · · · + z n називають
частинними сумами ряду (12.7). ✓

Означення 12.8. Ряд (12.7) називають збіжним, якщо збіжна послідовність {S n }
i розбіжним, якщо ця послідовність розбіжна. ✓

Введемо тепер ряди з дійсними членами:
∞
∑
x 1 + x 2 + · · · + x n + · · · = x n , (12.8)
n=1
∞
∑
y 1 + y 2 + · · · + y n + · · · = y n , (12.9)
n=1
і побудуємо їхні частинні суми X n = x 1 +x 2 +· · ·+x n , Y n = y 1 +y 2 +· · ·+y n , тоді S n = X n +iY n
і справджується така теорема.

Теорема 12.4.

Для того, щоб ряд (12.7) був збіжним до числа S = X +iY, необхідно і достатньо, щоб
ряди (12.8) і (12.9) були збіжними відповідно до чисел X і Y. ⋆

При дослідженні на збіжність рядів з комплексними членами користуються також такою
достатньою ознакою збіжності.

Теорема 12.5.

Якщо ряд, утворений з модулів членів ряду (12.7)

∞
∑
|z n | = |z 1 | + |z 2 | + · · · + |z n | + · · ·
n=1
√
2
2
де |z n | = x + y збіжний, то збіжний, причому абсолютно, і ряд (12.7). ⋆
n
n
90