Page 89 - 4443

Поняття про числові ряди з комплексними членами

де α — довільне дійсне число. ,

Розв’язання. Складемо ряд з модулів членів заданого ряду

| sin α| | sin 2α| | sin nα
+ + · · · + + · · · .
1 3 2 3 n 3
∞
∑
Оскільки | sin nα| ≤ 1 3 i ряд 1 3 збіжний як узагальнений гармонічний, то за ознакою порівняння ряд з
n 3 n n
n=1
модулів збіжний, тому збіжний і заданий ряд.
Зауважимо, що доведена теорема дає лише достатню умову збіжності і не є необхідною
умовою збіжності знакозмінного ряду, бо існують знакозмінні ряди, які є збіжними, а ряди,
∞
∑ (−1) n
утворені з модулів їхніх членів, розбіжні. Наприклад, ряд збіжний за ознакою Лейбні-
n
n=1
∞
∑
ца, а ряд 1 , утворений з модулів його членів, розбіжний. У зв’язку з цим всі збіжні ряди
n
n=1
можна розділити на абсолютно збіжні і умовно збіжні.
Означення 12.2. Знакозмінний ряд (12.5) називають абсолютно збіжним, якщо ряд
(12.6), утворений з модулів його членів, є збіжним. ✓

Означення 12.3. Якщо ж ряд (12.5) збіжний, а ряд (12.6), утворений з модулів його
членів, розбіжний, то ряд (12.5) називають умовно збіжним.

∞ ∞
∑ sin nα ∑ (−1) n
Так, ряд 3 є абсолютно збіжним, а ряд — умовно збіжним.
n n
n=1 n=1
Зазначимо, що розмежування рядів на абсолютно і умовно збіжні є досить істотним. Справа
в тому, що абсолютно збіжні ряди мають цілу низку важливих властивостей скінченних сум,
тоді як умовно збіжні ряди таких властивостей не мають. Наприклад, абсолютно збіжні мають
переставну властивість: будь-який ряд, утворений за допомогою перестановки членів абсолю-
тно збіжного ряду, також абсолютно збіжний і має ту саму суму, що і заданий ряд.
Умовно збіжні ряди переставної властивості не мають, тому що від перестановки їхніх чле-
нів може змінитися сума ряду і навіть утворитись розбіжний ряд.

Поняття про числові ряди з комплексними членами

Нехай z n = x n + iy n , n = 1, 2, . . . — послідовність комплексних чисел.

Означення 12.4. Комплексне число a + ib = c називають скінченною границею по-
слідовності {z n }, якщо для довільного числа ε > 0 існує номер N = N(ε) такий, що
|z n − c| < ε для всіх n > N і записують lim z n = c. ✓
n→∞

Означення 12.5. Послідовність, яка має скінченну границю, називають збіжною,
а послідовність, яка не має скінченної границі — розбіжною.

89