Page 88 - 4443

Знакозмінні ряди

Розв’язання. Очевидно, всі три умови ознаки Лейбніца виконуються: 1) знаки членів даного ряду строго
чергуються; 2) модулі його членів монотонно спадають; 3) n-й член ряду прямує до нуля при n → ∞.
Отже, ряд збіжний i має певну суму S. Для того, щоб обчислити цю суму з точністю до 0, 001, треба
взяти стільки його членів, щоб перший з наступних членів був за модулем менший від 0, 001. Тоді весь
залишок ряду, починаючи з цього члена, буде менший від 0, 001. У даному разі маємо 4 1 3 = 64 > 0, 001;
1
1 1 > 0, 001; 1 1 < 0, 001, тобто, щоб знайти суму даного ряду з точністю до 0, 001,
8 3 = 512 12 3 = 1728
досить залишити перші два члени ряду, а решту відкинути. Таким чином,

1 1 1 1
S ≈ S 2 = − = − ≈ 0, 015.
4 3 8 3 64 512

Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності

Означення 12.1. Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як
від’ємні, так і додатні. ✓

Зрозуміло, що розглядаємо випадок, коли ряд містить нескінченне число додатних членів і не-
скінченне число від’ємних членів.
Розглянуті в попередньому пункті ряди, в яких знаки чергуються, є, очевидно, окремим ви-
падком знакозмінних рядів.
Візьмемо довільний знакозмінний ряд

u 1 + u 2 + · · · + u n + · · · , (12.5)

де числа u i можуть мати довільний знак. Одночасно розглянемо ряд, утворений з модулів ряду
(12.5):
|u 1 | + |u 2 | + · · · + |u n | + · · · (12.6)
Для знакозмінних рядів справедлива така ознака збіжності.

Теорема 12.2.

Якщо ряд (12.6) збіжний, то збіжний і ряд (12.5). ⋆

ДОВЕДЕННЯ. Покладемо |u n | + u n = 2p n , |u n | − u n = 2q n , тоді 0 ≤ p n ≤ |u n |,
0 ≤ q n ≤ |u n | для довільного n ∈ N.
За умовою ряд (12.6) збіжний, тому з останніх нерівностей і ознаки порівняння випливає, що
∞ ∞
∑ ∑
ряди p n i q n також збіжні. Оскільки u n = p n − q n , то, згідно з властивістю 2, ряд (12.5)
n=1 n=1
теж збіжний. 2

Ця теорема показує, що при дослідженні на збіжність знакозмінних рядів можна користува-
тися ознаками збіжності додатних рядів.

Приклад 12.2. Дослідити на збіжність ряд

sin α sin 2α sin nα
+ + · · · + + · · · ,
1 3 2 3 n 3

88