Page 87 - 4443

Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца

ДОВЕДЕННЯ. Розглянемо частинну суму з парним числом членів:

S 2n = u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + . . . + u 2n−1 − u 2n =
= (u 1 − u 2 ) + (u 3 − u 4 ) + . . . + (u 2n−1 − u 2n ).

3 умови (12.2) випливає, що кожна різниця в дужках додатна, тому S 2n > 0 і послідовність
{S 2n } зростає із зростанням n. Крім того, S 2n = u 1 − [(u 2 − u 3 ) − (u 4 − u 5 ) − · · · − (u 2n−2 −
u 2n−1 ) − u 2n ] < u 1 , тобто послідовність обмежена зверху. Отже, послідовність {S 2n } монотон-
но зростає і обмежена, тому має границю. Нехай lim S 2n = S, тоді S ≤ u 1 .
n→∞
Обчислимо границю сум з непарним індексом. Враховуючи умову (12.2), маємо

lim S 2n+1 = lim (S 2n + u 2n+1 ) = S + 0 = S.
n→∞ n→∞

З рівностей
lim S 2n = lim S 2n+1 = S.
n→∞ n→∞
випливає, що ряд (12.1) збіжний і сума його S ≤ u 1 . 2

Зазначимо, що до рядів, знаки яких строго чергуються, належить також ряд

n
−u 1 + u 2 − u 3 + u 4 + · · · + (−1) u n + · · · , u n > 0. (12.4)

Якщо для такого ряду виконуються умови 1)-3), то він збіжний, його сума S від’ємна і задо-
вольняє нерівність |S| ≤ u 1 .
Таким чином, для рядів (12.1) і (12.4) ознака Лейбніца формулюється так: якщо модуль n-го
члена ряду (12.1) чи (12.4) із зростанням n спадає і прямує до нуля, то ряд збіжний, причому
модуль його суми не перевищує модуля першого члена.
Ряди (12.1) і (12.4), для яких виконується ознака Лейбніца, називаються рядами лейбніцевого

типу.

Наслідок 12.1.
Абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду (12.1) його частинною сумою не перевищує

модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто |S − S | ≤ u n+1 . 2
n

Інакше кажучи, модуль n-го залишку r n збіжного ряду (12.1) не перевищує модуля (n+1)-го
члена цього ряду, тобто |r n | ≤ u n+1 .
n
Дійсно, залишок збіжного ряду (12.1) r n = (−1) u n+1 + (−1) n+1 u n+2 · · · — це збіжний ряд,
члени якого строго чергуються. За доведеним абсолютна величина його суми не перевищує
абсолютної величини першого члена, тобто |r n | ≤ u n+1 .
Цей наслідок широко використовується при наближених обчисленнях.

Приклад 12.1. Довести, що ряд

∞ n−1
∑ (−1) 1 1 1 1
= − + − + . . .
(4n) 3 4 3 8 3 12 3 16 3
n=1
збіжний і знайти його суму з точністю до 0, 001. ,

87