Page 86 - 4443

Знакозмінні ряди

а) Візьмемо функцію f(x) = 2x , x ∈ [1, +∞), тоді матимемо ряд
2
x +3
∞
∑ 2n
= f(1) + f(2) + · · · + f(n) + · · · .
2
n + 3
n=1
Розглянемо невластивий інтеграл

+∞ +∞
∫ ∫ b
2xdx
2
f(x)dx = = lim ln(x + 3) = +∞.
2
x + 3 b→+∞
1
1 1
Цей інтеграл розбіжний, тому і даний ряд розбіжний.
∞ ∑
∞
∑
б) Візьмемо функцію f(x) = 1 α , x ∈ [1, +∞), α > 1, тоді f(n) = 1 α . Обчислимо
x n
n=1 n=1
невластивий інтеграл:
+∞ +∞
∫ ∫ 1−α b ( 1−α )
dx x b 1 1
f(x)dx = = lim = lim − = .
x α b→∞ 1 − α 1 b→+∞ 1 − α 1 − α α − 2
1 1
Невластивий інтеграл збіжний при α > 1, тому заданий ряд при α > 1 теж збіжний.
Розбіжність ряду при α < 1 випливає з того, що в цьому разі 1 α ≥ . Гармонічний ряд розбіжний,
1
n n
тому за ознакою порівняння заданий ряд при α < 1 теж розбіжний. Таким чином, узагальнений
гармонічний ряд збіжний при α > 1 і розбіжний при α ≤ 1.

Тема 12. Знакозмінні ряди

Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца

У попередній лекції ми розглянули ряди з додатними членами. Ряди з недодатними членами
можна досліджувати аналогічно, бо від знакододатних вони відрізняються множником −1, який
на збіжність ряду не впливає.
Розглянемо тепер ряд, знаки членів якого строго чергуються, тобто ряд, довільні два сусідні
члени якого мають різні знаки:

u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + . . . + (−1) n−1 u n + . . . , (12.1)

де u n > 0, n = 1, 2, . . . . Такий ряд називається знакочережним. Цей ряд досліджується на збі-
жність за допомогою такої достатньої ознаки.

Теорема 12.1.

(ознака Лейбніца). Ряд (12.1) збіжний, якщо:
1) для всіх n ∈ N u n ≥ 0;
2) для всіх n ∈ N

u n+1 < u n ; (12.2)
3) виконується необхідна умова збіжності ряду, тобто
lim u n = 0. (12.3)
n→∞
При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого його члена. ⋆

86