Page 85 - 4443

Ознака Коші

√ π
б) lim n u n = lim sin = 0 < 1, тобто заданий ряд збіжний.
3n
n→∞ n→∞

Теорема 11.5.

(інтегральна ознака Коші) Нехай задано ряд

∞
∑
f(1) + f(2) + · · · + f(n) + · · · = f(n), (11.11)
n=1

члени якого є значеннями неперервної, додатної і монотонно спадної функції f(x)
на проміжку [1; +∞). Тоді ряд (11.11) збіжний, якщо збіжний невластивий інтеграл
+∞
∫
f(x)dx, і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний. ⋆
1

ДОВЕДЕННЯ. Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену кривою y = f(x) і прямими
n
∫
x = 1, x = n, y = 0. Площа її дорівнює інтегралу I n = f(x)dx.
1
Впишемо в цю трапецію і опишемо навколо неї східчасті фігури, утворені з прямокутників,
основами яких є проміжки [1; 2], [2; 3], . . . , [n − 1; n], а висоти дорівнюють f(1), f(2), . . . , f(n),
тоді
f(2) + f(3) + . . . + f(n) < I n < f(1) + f(2) + . . . + f(n − 1)

або
S n − f(1) < I n < S n − f(n),
звідки
S n < f(1) + I n , (11.12)

S n > f(1) + I n , (11.13)
де S n — частинна сума ряду (11.13).
+∞
∫
Нехай інтеграл f(x)dx збіжний. Тоді із означення невластивого інтеграла першого роду
1
n
∫
маємо, що існує границя lim I n = lim f(x)dx = I. Оскільки f(x) > 0, то послідовності
n→∞ n→∞
1
{S n } та {I n } зростають із зростанням n і послідовність {I n } обмежена зверху своєю границею:
I n < I. З нерівності (11.12) випливає, що S n < f(1) + I, тобто послідовність {S n } обмежена.
Таким чином, монотонно зростаюча послідовність {S n } обмежена зверху, а тому має грани-
цю. Отже, ряд (11.11) збіжний.
∞
∫
Нехай тепер інтеграл f(x)dx розбіжний, тоді lim I n = ∞ і з нерівності (11.13) випливає,
n→∞
1
що ряд (11.11) теж розбіжний. 2

∞ ∞
∑ 2n ∑ 1
Приклад 11.5. Дослідити на збіжність ряди а) ; б) α . ,
2
n +3 n
n=1 n=1
Розв’язання. Застосуємо інтегральну ознаку Коші.

85