Page 84 - 4443

Додатні ряди

Зауваження 11.4. Якщо lim u n+1 = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбі-
u n
n→∞
жним. У цьому випадку ряд треба дослідити за допомогою інших ознак.

∞ ∞ ∞
∑ n 2 ∑ n! ∑ n n
Приклад 11.3. Дослідити на збіжність ряди: а) 2 n ; б) 2 n ; в) n! .,
n=1 n=1 n=1

Розв’язання. Скористаємося ознакою д’Аламбера:

2 n
2 =
а) lim u n+1 = lim (n+1) 2 2 = lim (n+1) 2 1 < 1, тобто заданий ряд збіжний.
u n 2 n+1 ·n 2n 2
n→∞ n→∞ n n→∞
б) lim u n+1 = lim (n+1)!·2 1 lim (n + 1) = ∞, отже, ряд розбіжний.
n+1 =
u n n!·2 2
n→∞ n→∞ n+1 n→∞ n
1 n
в) lim u n+1 = lim (n+1) ·n! = lim (n+1) = lim (1 + ) = e > 1 — ряд розбіжний.
n
u n n (n+1)! n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
Ознака Коші
Теорема 11.4.
√
(ознака Коші) Якщо для ряду (11.7) з додатними членами існує границя lim n u n =l, то
n→∞
цей ряд збіжний при l < 1 і розбіжний при l > 1. ⋆

√
ДОВЕДЕННЯ. Нехай lim n u n = l. Це означає, що для довільного числа ε > 0 існує но-
√ n→∞
мер N = N(ε), такий, що | u n − l| < ε, n > N, або
n
√
l − ε < n u n < l + ε, n > N. (11.10)

Припустимо, що l < 1. Виберемо число ε > 0 так, щоб l + ε = q < 1 тоді з нерівності (11.10)
маємо
√
n
n u n < l + ε = q або u n < q , n > N.
∞
∑
n
Оскільки ряд q збіжний як геометрична прогресія із знаменником q (0 < q < 1), то з
n=N+1
∞
∑
n
нерівностей u n < q за ознакою порівняння ряд u n збіжний. Тоді збіжним буде і ряд (11.7),
n=N+1
∞
∑
який утворюється з ряду u n приєднанням до нього N членів: u 1 , u 2 , . . . , u N .
n=N+1
Нехай l > 1. Візьмемо число ε > 0 так, щоб число l − ε = ρ > 1, тоді з нерівності (11.10)
√
випливає, що n u n > l − ε = ρ > 1, або u n > 1, n > N, звідки lim u n ̸= 0. Отже, ряд розбіжний
n→∞
(властивість 6). 2
∞
∞ (
∑ 4n ) n ∑ n π
Приклад 11.4. Дослідити на збіжність ряди: а) ; б) sin . ,
n+1 3n
n=1 n=1
Розв’язання. Застосуємо ознаку Коші.
√ 4n
а) lim n u n = lim = 4 > 1, тобто заданий ряд розбіжний.
n+1
n→∞ n→∞

84