Page 83 - 4443

Ознака д’Аламбера

Ознака д’Аламбера

Теорема 11.3.

(ознака д’Аламбера). Якщо для ряду з додатними членами

u 1 + u 2 + · · · + u n + · · · (11.7)

існує границя lim u n+1 = l, то
u n
n→∞
1) ряд збіжний при l < 1;
2) ряд розбіжний при l > 1. ⋆

ДОВЕДЕННЯ. 1. Нехай lim u n+1 = l < 1, тоді для довільного ε > 0 існує такий
u n
n→∞

u n+1
номер N = N(ε), що для всіх n > N виконується нерівність − l < ε, або
u n
u n+1
l − ε < < l + ε. (11.8)
u n
Оскільки l < 1, то ε > 0 можна вибрати так, щоб число q = l + ε < 1. Тоді з правої
частини нерівності (11.8) дістанемо u n+1 < q, u n+1 < qu n , n > N. Надаючи n значень
u n
N + 1, N + 2, . . . з останньої нерівності маємо

u N+2 < u N+1 q;

2
u N+3 < u N+2 q < u N+1 q ;
3
u N+4 < u N+3 q < u N+1 q ,
. . .
тобто члени ряду
u N+2 + u N+3 + u N+4 + . . . (11.9)

менші відповідних членів ряду

2
3
u N+1 q + u N+1 q + u N+1 q + . . . .
Цей ряд збіжний як геометрична прогресія із знаменником q (0 < q < 1), тому за ознакою
порівняння ряд (11.9) також збіжний. Ряд (11.7) утворюється з ряду (11.9), якщо до остан-
нього приєднати N + 1 член u 1 , u 2 , . . . , u N+1 . Тому за властивістю 3 ряд (11.7) збіжний.

2. Нехай l > 1. Візьмемо ε > 0 так, щоб l − ε > 1, тоді з лівої частини нерівності (11.8) ви-
пливає,щоu N+1 > u n ,n > N,тобточленирядузростаютьіззростаннямїхньогономера.
Тому lim u n ̸= 0 і ряд (11.7) розбіжний (властивість 6). 2
n→∞

Зауваження 11.3. Якщо lim u n+1 = ∞, то ряд (11.7) розбіжний, бо існує номер
u n
n→∞
N такий, що u n+1 > 1 при n > N.
u n

83