Page 82 - 4443

Додатні ряди

∞ ∞
∑ 1 ∑ 1
Приклад 11.1. Дослідити на збіжність ряди: а) n·3 n ; б) ln(n+1) . ,
n=1 n=1

Розв’язання. Застосовуємо ознаки порівняння.
∞
∑
а) Оскільки 1 n ≤ 1 n , n = 1, 2, . . . , і ряд 1 n — збіжний як геометрична прогресія із знаменником
n·3 3 3
n=1
q = 1 < 1, то ряд а теж збіжний.
3
∞
б) Оскільки 1 > 1 , n = 1, 2, . . . і ряд 1 розбіжний як гармонічний, то ряд б також
∑
ln(n+1) n+1 n+1
n=1
розбіжний.
Теорема 11.2.
(гранична ознака порівняння) Якщо задано два ряди з додатними членами

u 1 + u 2 + · · · + u n + · · · , (11.4)

v 1 + v 2 + · · · + v n + · · · , (11.5)

причому існує скінченна, відмінна від нуля границя lim u n = a (a ̸= 0, a ̸= ∞), то ряди
v n
n→∞
або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні. ⋆

ДОВЕДЕННЯ. Нехай lim u n = a ̸= 0, тоді для довільного ε > 0 (візьмемо ε < a)
v n
n→∞
u n
знайдеться такий номер N = N(ε), що для всіх n > N виконується нерівність | − a| < ε,
v n
звідки
(a − ε)v n < u n < (a + ε)v n . (11.6)
∞
∑
Якщо ряд (11.4) збіжний, то з нерівності (11.6) і теореми 11.1 випливає, що ряд (a−ε)v n також
n=1
збіжний. Тоді, згідно з властивістю 1, ряд (11.5) збіжний.
Якщо ряд (11.4) розбіжний, то з нерівності (11.6), теореми 11.1 і властивості 1 випливає розбі-
∞
∑
жність ряду (a + ε)v n і ряду (11.5). Аналогічно, якщо ряд (11.5) збіжний (розбіжний), то збі-
n=1
жним (розбіжним) буде і ряд (11.4). 2

∞ ∞
∑ π ∑ 2n+1
Приклад 11.2. Дослідити на збіжність ряди: а) tg 3n ; б) n 3 .
n=1 n=1

Розв’язання. Застосуємо граничну ознаку порівняння.
tg π π
а) Оскільки lim 1 = ̸= 0 і гармонічний ряд розбіжний, то ряд а також розбіжний.
3n
n→∞ n 3
∞ ∑
∞
∑
б) Порівняємо цей ряд із збіжним рядом n 1 2 (це ряд вигляду n 1 α , де α = 2 > 1) :
n=1 n=1
( ) 3 2
2n + 1 1 2n + n
lim : = lim = 2 ̸= 0.
n→∞ n 3 n 2 n→∞ n 3
Отже, даний ряд збіжний.

82