Page 81 - 4443

Ознаки порівняння

Теорема 11.1.
(ознака порівняння). Нехай задано два ряди з невід’ємними членами

u 1 + u 2 + · · · + u n + · · · , u n ≥ 0, (11.1)

v 1 + v 2 + · · · + v n + · · · , v n ≥ 0, (11.2)

і для всіх n виконується нерівність

u n ≤ v n . (11.3)

Тоді, якщо ряд (11.2) збіжний, то збіжний і ряд (11.1). Якщо ряд (11.1) розбіжний, то
розбіжний і ряд (11.2). ⋆

∞ ∞
∑ ∑
ДОВЕДЕННЯ. Нехайряд(11.2)збіжнийіS n = u k ,σ n = v k —частиннісумирядів
k=1 k=1
(11.1) і (11.2).
Оскільки ряд (11.2) збіжний, то існує границя lim σ n = σ його частинних сум. Члени ряду
n→∞
(11.2) невід’ємні, тому σ n ≤ σ. Але тоді з нерівності (11.3) випливає, що S n ≤ σ n ≤ σ, тоб-
то послідовність {S n } частинних сум ряду (11.1) обмежена зверху. Крім того, члени ряду (11.1)
невід’ємні, тому частинні суми не спадають. Тоді за теоремою про границю монотонної функції
(див. у част. 1 теорема 15.4) послідовність {S n } має границю, тобто ряд (11.1) збіжний. Якщо ж
ряд(11.1)розбіжний,торяд(11.2)такожрозбіжний,боколибряд(11.2)бувзбіжний,тозатільки
що доведеним ряд (11.1) теж був би збіжним, а це суперечить умові. 2

Зауваження 11.1. Ознаки порівняння можна застосовувати і тоді, коли нерівність
(11.3) виконується не для всіх членів рядів (11.1) i (11.2), а починаючи з деякого номера

N. Це випливає з властивості 3.

Зауваження 11.2. При дослідженні рядів за допомогою ознак порівняння необхідно
знати, які ряди збіжні і які розбіжні.

Для порівняння часто користуються такими двома рядами:
{
∞ збіжна при |q| < 1,
геометричною прогресією aq n−1 =
∑
n=1 розбіжна при |q| ≥ 1,
а також рядом Діріхле або узагальненим гармонічним рядом

{
∞
∑ 1 збіжний при α > 1,
=
n α розбіжний при α ≤ 1.
n=1
Перший з цих рядів, як відомо, називається геометричною прогресією. Другий з рядів нази-
вається рядом Діріхле або узагальненим гармонічним рядом. Його ми дослідимо пізніше. Зокрема,
∞
∑ 1
при α = 1 дістанемо гармонічний ряд , який, як відомо, розбіжний.
n
n=1

81