Page 80 - 4443

Додатні ряди

Умова lim u n = 0 є тільки необхідною для збіжності ряду, але не доста-
n→∞
тньою. Це означає, що існують розбіжні ряди, для яких ця умова виконує-
ться.
∞
∑
6. (достатня умова розбіжності ряду) Якщо lim u n = 0, то ряд u n розбіжний.
n→∞ n=1

ДОВЕДЕННЯ. Дійсно,якбиданийрядбувзбіжний,тозавластивістю5йогозагаль-
ний член прямував би до нуля при n → ∞, що суперечить умові. 2

∞ ∞ ∞
∑ 1 ∑ 2n+1 ∑ 1
Приклад 10.2. Дослідити на збіжність ряди: а) √ ; б) n+2 ; в) 2 n .,
n
n=1 n=1 n=1
Розв’язання. а) Тут виконується необхідна умова збіжності:

1
lim u n = lim √ = 0,
n→∞ n→∞ n
проте ряд розбіжний. Дійсно,

1 1 1 1 1 1 1 √
S n = 1 + √ + √ + . . . + √ > √ + √ + . . . + √ = n√ = n,
2 3 n n n n n

√
тобто S n > n, звідки lim S n = ∞. Отже, ряд а) розбіжний.
n→∞
б) Тут виконується достатня умова розбіжності:

2n + 1
lim u n = lim = 2 ̸= 0,
n→∞ n→∞ n + 2
тому ряд б розбіжний.
1
в) Ряд збіжний як геометрична прогресія із знаменником q = .
2
Таким чином, якщо lim u n = 0, то ніякого висновку про збіжність чи розбіжність ряду
n→∞
∞
∑
u n зробити не можна.
n=1
Потрібне додаткове дослідження, яке виконується за допомогою достатніх умов збіжності
ряду. Якщо ж lim u n ̸= 0, то ряд розбіжний.
n→∞

Тема 11. Додатні ряди

Ознаки порівняння

При дослідженні на збіжність знакододатних рядів, тобто рядів з невід’ємними членами, най-
частіше користуються такими достатніми умовами (ознаками) збіжності, як ознаки порівняння,
ознаки д’Аламбера і Коші та інтегральна ознака Коші.

80