Page 79 - 4443

Найпростіші властивості числових рядів

Найпростіші властивості числових рядів

∞ ∞
∑ ∑
1. Якщо ряд u n збіжний і має суму S, то ряд Cu n також збіжний і сума
n=1 n=1
його дорівнює C·S (C = const). Іншими словами, збіжний ряд можна множити
почленно на одне і те саме число.

∞
∑
ДОВЕДЕННЯ. Нехай S = u 1 + u 2 + · · · + u n = u k , σ n = Cu 1 + Cu 2 +
k=1
n
∑
· · · + Cu n = C u k = CS n — частинні суми даних рядів. За умовою lim S n = S, тому
k=1 n→∞
∞
∑
lim σ n = lim CS n = CS. Отже, ряд Cu n збіжний і сума його дорівнює CS. 2
n→∞ n→∞ n=1
∞
∑
2. Збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати, тобто якщо ряди u n
n=1
∞
∑
і v n збіжні і мають суми відповідно S та σ, то збіжними є також ряди
n=1
∞
∑
(u n ± v n ) і суми їх дорівнюють S ± σ.
n=1
n n n
∑ ∑ ∑
¯
ДОВЕДЕННЯ. Нехай S n = u k , σ n = v k , S n = (u k ± v k ) — частинні
k=1 k=1 k=1
суми відповідних рядів.
¯
¯
ОскількиS n = S n ±σ n ізаумовою lim S n = S, lim σ n = σ,то lim S n = lim (S n ±σ n ) =
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
S ± σ. 2
3. На збіжність ряду не впливає відкидання або приєднання до нього скінчен-
ного числа членів.
ДОВЕДЕННЯ. Нехай S n — частинна сума ряду (10.1), C m — сума m відкинутих

членів (число членів n взяте таким великим, що всі відкинуті члени містяться в S n ), σ n−m
— сума членів ряду, які містяться в S n і не містяться в C m , тоді S n = C m + σ n−m ;
lim S n = C m + lim σ n−m . Згідно із знайденою рівністю, границі в лівій і правій части-
n→∞ n→∞
нах одночасно існують або не існують, тобто ряд (10.1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки
тоді, коли збіжний (розбіжний) ряд без m його членів. 2

∞
∑
Розглянемо ряд (10.1) і покладемо r n = u n+1 +u n+2 +· · · = u k . Величину r n
k=n+1
називають n-м залишком ряду (10.1), її можна розглядати як суму ряду, який
утворюється з ряду (10.1) після відкидання перших n його членів.
Якщо ряд збіжний і lim S n = S, то r n = S − S n і lim r n = 0.
n→∞ n→∞
Справедливе загальніше твердження.
4. Ряд (10.1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжний (розбіжний)
довільний його залишок. Ця властивість є наслідком властивості 3.
∞
∑
5. (необхідна умова збіжності ряду) Якщо ряд u n збіжний, то lim u n = 0.
n=1 n→∞
ДОВЕДЕННЯ. Нехай S — сума заданого ряду, тоді lim S n = S i lim S n−1 = S,
n→∞ n→∞
n−1
∑
де S n−1 = u k . Проте u k = S n − S n−1 , тому lim u n = 0. 2
k=1 n→∞

79