Page 78 - 4443

Числові ряди

Приклад 10.1. Дослідити на збіжність ряди:

∞
∑ n
а) 1 + 1 + . . . + 1 + . . . = 1 ;
n=1
∞
∑
б) 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1) n−1 + · · · = (−1) n−1 ;
n=1
∞
∑
в) 1 + 1 + · · · + 1 + · · · = 1 ;
1·2 2·3 n(n+1) n(n+1)
n=1
∞
∑ n−1
n−1
2
г) a + aq + aq + · · · + aq + · · · = aq , a ̸= 0;
n=1
∞
∑ 1
1
1
1
ґ) 1 + + + · · · + + · · · = . ,
2 3 n n
n=1
Розв’язання. а) Розглянемо частинну суму S n = 1 + 1 + · · · + 1 = n. Оскільки lim S n =
n→∞
lim n = ∞, то ряд а розбіжний.
n→∞
б) Випишемо послідовність частинних сум: S 1 = 1, S 2 = 0, S 3 = 1, S 4 = 0, . . . , S 2n−1 = 1,
S 2n = 0. Ця послідовність границі не має, тому ряд б розбіжний.
в) Знайдемо суму

1 1 1 1
S n = + + + · · · + =
1 · 2 2 · 3 3 · 4 n(n + 1)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 − + − + − + · · · + − = 1 − .
2 2 3 3 4 n n + 1 n + 1
( )
1
Оскільки lim S n = lim 1 − = 1, то ряд в збіжний і сума його S = 1.
n+1
n→∞ n→∞
г) Це геометрична прогресія з першим членом a і знаменником q. Точніше, це — ряд, складений з членів
геометричної прогресії. Проте для стислості ряд г далі називаємо геометричною прогресією. При q ̸= 1
маємо
n
a(1 − q ) a q n
S n = a + aq + · · · + aq n−1 = = − ;
1 − q 1 − q 1 − q
lim S n = a , якщо |q| < 1, lim S n = ∞, якщо |q| > 1.
n→∞ 1−q n→n∞
Отже, при |q| < 1 ряд г збіжний, а при |q| > 1 — розбіжний. Якщо q = 1, то матимемо a +
a + . . . + a + . . . ; lim an = ∞, тобто ряд розбіжний. Якщо q = −1, то матимемо ряд
n→∞
a − a + a − a + . . . ; S n = a при непарному n і S n = 0 при парному n, тобто lim S n не існує,
n→∞
тому ряд розбіжний.
Таким чином, геометрична прогресія збіжна при |a| < 1 і розбіжна при |q| ≥ 1.
∞
∑
) Ряд 1 називають гармонічним або гармонійним. Він — розбіжний, бо для всіх n ∈ N :
n
n=1
( ) n ( )
1 1 1 n + 1
1 + < e ⇒ n ln 1 + < 1 ⇒ > ln = ln(n + 1) − ln n,
n n n n
тобто S n > ln(n + 1) ⇒ lim S n = ∞.
n→∞

78