Page 77 - 4443

Ряди

Тема 10. Числові ряди

Ряди досить широко використовуються в математиці, особливо при дослідженні різнома-
нітних технічних проблем, пов’язаних з наближеним інтегруванням диференціальних рівнянь,
обчисленням значень функцій та інтегралів, розв’язуванням трансцендентних та алгебраїчних
рівнянь тощо.
Найпростіший ряд — суму членів нескінченної геометричної прогресії — вперше ввели
вчені Стародавньої Греції. Зокрема, Архімед застосував такий ряд до обчислення площі пара-
болічного сегмента.
Систематично рядами почали користуватись, починаючи з 17 ст., проте теорія рядів була
створена лише в 19 ст. на основі поняття границі в роботах К. Гауса, О. Коші та багатьох інших
учених.

Основні поняття та означення. Геометрична прогресія. Гармоні-

чний ряд

Нехай задано послідовність дійсних чисел {u n } = {u 1 , u 2 , . . . , u n , . . .}.

Означення 10.1. Рядом називають вираз

∞
∑
u 1 + u 2 + . . . + u n + . . . = u n . (10.1)
✓
n=1

Цьому виразу ми не приписуємо ніякого числа, тому що нескінченне число додавань вико-
нати не можна. Для кожного n ∈ N покладемо S n = u 1 + u 2 + · · · + u n . Число u n називається
n-м членом, а число S n n-ою частинною сумою ряду (10.1).

Означення 10.2. Якщо послідовність частинних сум {S n } збіжна і lim S n = S,
n→∞
то число S називається сумою ряду (10.1), а ряд називається збіжним. Символічно це
записується так:
∞
∑
S = u 1 + u 2 + · · · + u n + · · · = u n .
n=1
Якщо послідовність {S n } скінченної границі не має, то ряд (10.1) називається розбі-
жним.

77