Page 70 - 4443

Елементи теорії поля

Переходячи до полярних координат, одержимо

2π 1 2π
∫ ∫ ∫ ∫ 1 π
2
2 2
2
2 2
Π = dφ (4ρ cos φ sin φ − (1 − ρ ) )ρdρ = dφ (2ρ sin 2φ − (1 − ρ ) )ρdρ = .
0 3
0 0 0

−→
−→
Означення 9.7. Дивергенцією div a векторного поля a називається скалярне поле
−→
div a (M) = ∂a x (M) + ∂a y (M) + ∂a z (M).
∂x ∂y ∂z
Воно характеризує наявність чи відсутність джерел або стоків векторного поля
у точці M. Якщо div a (M) > 0, то у точці M є джерело векторного поля, при
−→
−→
div a (M) < 0 є стік, а при div a (M) = 0 нема ні джерела, ні стоку. ✓
−→
− →
Якщо поле a — поле швидкостей потоку нестисливої рідини, то дивергенцію цього поля
можна тлумачити або як густину розподілу джерел (стоків), або як їх питому продуктивність
на одиницю об’єму поля в точці M.
Нехай L — гладкий замкнутий контур. Тоді

Означення 9.8. Циркуляцією векторного поля a (x, y, z) по замкненому кусково-
− →
гладкому контуру L називають

I I
−→ −→
c = ( a , d r ) = a x dx + a y dy + a z dz,
L L
де d r = (dx, dy, dz) (тобто криволінійний інтеграл другого роду). ✓
−→

−→
Якщо a — вектор сили (силове поле), то циркуляція визначає роботу цієї сили по замкне-
−→
ному контуру. А якщо a — поле лінійних швидкостей текучої рідини, то помістимо у це поле
коліщатко з лопатками, розташованими по його краю L. Частинки рідини, діючи на ці лопа-
тки, будуть створювати обертальні моменти, сукупна дія яких приведе до обертання коліщатка
навколо своєї осі. При цьому абсолютна величина циркуляції буде визначати кутову швидкість
обертання коліщатка, а знак циркуляції покаже, в яку сторону обертається коліщатко відносно
вибраного напряму. Використовуючи термінологію поля швидкостей текучої рідини, кажуть,
−→
що циркуляція довільного поля a визначає його обертальну здатність навколо даного напряму
і характеризує завихрення поля у цьому напрямі.

−→
−→
−→
2
Приклад 9.6. Обчислити циркуляцію плоского векторного поля a = y i + x j
вздовж кривоїx = 3 cos t, y = sin t з обходом за годинниковою стрілкою. ,
Розв’язання. Задана крива - еліпс. Обхід кривої здійснюється за годинниковою стрілкою, тому t зміню-
ється від 2π до 0.
∫
2
C = y dx + xdy.
L

70