Page 75 - 4443

Потенціальне поле

Теорема 9.8.
(основна теорема векторного аналізу, теорема Стокса-Гельмгольца) Якщо векторне
−→
поле a неперервне у всьому просторі і на нескінченності прямує до нуля певним
чином разом із своїм ротором та дивергенцією, то таке поле можна єдиним чином
−→ −→
−→ −→
подати як сума потенціального та соленоїдного полів, тобто a ( r ) = a п ( r ) +
− → −→
a с ( r ), причому
+∞ +∞ +∞
∫ ∫ ∫
1 div a ( r )d r
− → −→′ −→′
− →
a п ( r ) = − grad − → ,
4π | r − r |
−→ ′
−∞ −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
∫ ∫ ∫
−→ −→′ −→′
1 rot a ( r )d r
−→
a c ( r ) = rot −→ ,
4π | r − r |
−→ ′
−∞ −∞ −∞
−→
−→
де r = (x, y, z), d r = dx dy dz . А на безмежності поле a та його дивергенція і ротор
′
′
′
−→′
повинні прямувати до нуля за таким законом:
( )
1
−→ −→
− → −→
lim a ( r ) · r = 1 ( a ( r ) = o при r → ∞);
r→∞ r
( )
1
−→ −→
−→ −→
2
lim | div a ( r )| · r = 1 (| div a ( r )| = o при r → ∞);
r→∞ r 2
( )
1
−→ −→
−→
2
lim | rot a ( r )r | = 1(| rot( r )| = o при r → ∞).
r→∞ r 2

75