Page 69 - 4443

Диференціальні характеристики векторних полів

2
Приклад 9.4. Знайти лінію градієнта скалярного поля u = x + y . ,

Розв’язання. Оскільки grad u = (1, 2, 0), то, згідно (9.3), одержуємо систему

dx dy dz
= = .
1 2y 0

1
Тоді dz = 0, тобто z = C 1 , а з рівності dx = dy знаходимо x = ln y + C 2 (C 1 , C 2 = const).
2y 2
Таким чином, лініями градієнта поля u = x + y є лінії перетину площин z = C 1 з циліндричними
2
1
поверхнями x = ln y + C 2 .
2

Диференціальні характеристики векторних полів

−→
Нехай S — двостороння гладка поверхня, n (M) — поле додатних нормалей до поверхні S
(нормаль — це пряма, перпендикулярна до дотичної у даній точці).

Означення 9.6. Потоком векторного поля через поверхню S називається

x x x
−→ −→
Π= ( a , n )dS = (a x cos α + a y cos β + a z cos γ)dS = a x dydz + a y dzdx + a z dxdy,
S S S

де α, β, γ — кути між вектором n та додатним напрямами осей Ox, Oy, Oz (тобто
− →
поверхневий інтеграл другого роду). ✓

−→
−→
Таким чином, якщо a — швидкість руху рідини, то потік вектора a через деяку поверхню
дорівнює кількості рідини, що протікає через цю поверхню за одиницю часу. Для векторного
поля іншої природи потік має, звісно, інший фізичний зміст.

− →
−→
−→
−→
2
Приклад 9.5. Обчислити потік вектора a = y i + x j + z k через поверхню
2
2
частини параболоїда 1 − z = x + y , що відтинається від нього площиною z = 0
(нормаль зовнішня). ,
Розв’язання. Задача полягає у обчисленні поверхневого інтеграла
x
−→
−→ −→
Π Ω ( a ) = ( a , n )dS,
Ω
де a = (P, Q, R) = (y, x, z ). Поверхня Ω задана явно рівнянням z = 1 − x − y . Отже, нормаль до
− →
2
2
2
її зовнішньої сторони має вид n = (−z , z , 1) = (2x, 2y, 1). Проекцією поверхні Ω на площину Oxy є
−→
′
′
y
x
круг D : x + y ≤ 1. Тоді цей поверхневий інтеграл зводиться до подвійного:
2
2
x x
2
−→ −→
Π = ( a , n )dxdy = (y · 2x + x · 2y + z )dxdy,
Ω D
який, враховуючи рівняння поверхні, запишемо так
x
2
2
2
Π = (4xy + (1 − (x + y )) )dxdy.
D
69