Page 65 - 4443

Формула Стокса

Якщо функція P(x, y, z) неперервна разом із своїми частинними похідними першого порядку
на поверхні σ, то справедлива формула

I ( )
x ∂P ∂P
P(x, y, z)dx = cos β − cos γ dσ. (8.12)
∂z ∂y
σ
L
Перетворимо криволінійний інтеграл, який міститься у лівій частині рівності (8.12). Оскіль-
ки контур L лежить на поверхні σ, то координати його точок задовольняють рівняння z =
z(x, y), і тому значення функції P(x, y, z) в точках контуру L дорівнюють значенням функції
P(x, y, z(x, y)) у відповідних точках контуру l. Звідси випливає, що

I I
P(x, y, z)dx = P(x, y, z(x, y))dx.

L L

Застосовуючи до знайденого інтеграла формулу Ґріна, дістанемо
I ( )
x
∂P ∂P
P(x, y, z(x, y))dx = − + · z ′ y dxdy.
∂y ∂z
L D
Тут підінтегральна функція дорівнює частинній похідній по y від складеної функції P(x, y, z(x,
y)).
−→
Оскільки σ — верхня сторона поверхні, тобто cos γ > 0 (γ — гострий кут між нормаллю n
до поверхні σ і віссю Oz), то нормаль має проекції −z , −z , 1. Але напрямні косинуси нормалі
′
′
y
x
пропорційні відповідним проекціям, тому
cos β −z y ′
′
= = −z ,
cos γ 1 y
тоді
( ) ( )
∂P ∂P ∂P ∂P cos β
x x
− + z y ′ dxdy = − − dxdy =
∂y ∂z ∂y ∂z cos γ
D D
( )
x
∂P ∂P
= − cos γ − cos β dσ.
∂y ∂z
σ
Отже,
I ( )
x ∂P ∂P
P(x, y, z)dx = cos β − cos γ dσ.
∂z ∂y
σ
L
Аналогічно можна довести, що при відповідних умовах справедливі формули:
I ( )
x ∂Q ∂Q
Q(x, y, z)dy = cos γ − cos α dσ, (8.13)
∂x ∂z
σ
L
I ( )
x ∂R ∂R
R(x, y, z)dy = cos α − cos β dσ. (8.14)
∂y ∂x
σ
L
Додаючи почленно рівності (8.12), (8.13) і (8.14), дістаємо формулу
I (( ) ( ) ( ) )
x ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
Pdx+Qdy+Rdz = − cos α+ − cos β+ − cosγ dσ,
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂
σ
L
65