Page 66 - 4443

Поверхневі інтеграли другого роду

яка називається формулою Стокса. За допомогою формули (8.3), яка пов’язує поверхневі інте-
грали першого та другого роду, цю формулу можна записати так:

I ( ) ( ) ( )
x ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
Pdx+Qdy+Rdz = − dydz+ − dxdz+ − dxdy (8.15)
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂
σ
L

Формула Стокса дає змогу обчислювати криволінійні інтеграли по замкнутих контурух за до-
помогою поверхневих інтегралів.

H
2 3
Приклад 8.4. Обчислити за допомогою формули Стокса інтеграл I = x y dx +
L
2
2
dy + zdz, де L — коло x + y = 1, z = 0, а поверхня σ — верхня сторона півсфери
2
2
2
x + y + z = 1, z > 0, і обхід контуру L здійснюється в додатному напрямі. ,
Розв’язання. Оскільки

∂Q ∂P 2 2 ∂R ∂Q ∂P ∂R
− = −3x y ; − = 0; − = 0,
∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x

то за допомогою формули Стокса (8.15) дістаємо

2π 1
∫ ∫
x x
2
5
2
2 2
2 2
I = −3 x y dxdy = −3 x y dxdy = −3 dφ ρ cos φ sin φdφ =
σ
D xy
0 0
2π 1 2π
∫ ∫ ∫
1 1 π
2
2
2
5
= − dφ ρ cos φ sin φdvarphi = − sin 2φdφ = − .
8 8 8
0 0 0
З формули Стокса випливає, що коли виконуються рівності
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R
= , = , = , (8.16)
∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x

то криволінійний інтеграл по довільному просторовому замкненому контуру L дорівнює нулю:

I
Pdx + Qdy + Rdz = 0. (8.17)
L

А це означає, що в даному випадку криволінійний інтеграл не залежить від форми контуру
інтегрування.
При виконанні умов (8.16) або (8.17) підінтегральний вираз Pdx + Qdy + Rdz є повним
диференціалом деякої функції U(x, y, z). Знайти цю функцію можна за формулою (6.33).

66