Page 67 - 4443

Тема 9. Елементи теорії поля

Класифікація векторних полів

Означення 9.1. Якщо кожній точці M(x, y, z) деякої області Ω ⊂ R ставиться у
3
відповідність єдиний вектор a (M) = a (x, y, z), то кажуть, що у цій області задане
−→
−→
векторне поле a (x, y, z).
− →
− → −→ −→
−→
a (x, y, z) = a x (x, y, z) i + a y (x, y, z) j + a z (x, y, z) k .
− →
Функції a x , a y , a z задають проекції a на осі декартової системи координат. Надалі вважа-
тимемо, що функції a x , a y , a z — неперервно диференційовні.

− →
Приклад 9.1. Векторним полем є електромагнітне поле напруженістю E(x, y, z),
−→ −→
створене системою зарядів, магнітне поле H(x, y, z), електрична поляризація P (x,
−→
y, z) або намагніченість M(x, y, z), поле гравітаційних сил. ,

Означення 9.2. Векторною лінією називають лінію L, дотична в кожній точці
якої паралельна з напрямком векторного поля у цій точці. ✓

Означення 9.3. Векторне поле називають центральним, якщо його векторні лінії
(або їхні продовження) перетинаються у одній точці O, яку називають центром. Та-
−→
ке поле визначене формулою a (x, y, z) = f(x, y, z) −→ , де f(x, y, z) — довільна функція
r
−→
| r |
−→
точки M(x, y, z), r — радіус-вектор, проведений з центра поля O у точку M. ✓
Означення 9.4. Векторне поле називають сферичним або сферично симетричним,
−→
якщо воно центральне і | a | залежить тільки від віддалі r до центра O. ✓

Приклад 9.2. Таким є напруженість електростатичного поля точкового заряду q
−→ q −→
(або рівномірно зарядженої кулі поза нею): E = · r 2 , де ε 0 = 8, 85 · 10 −12 Ф/м
4πεε 0 r
— електрична стала, ε — діелектрична проникність. ,

Означення 9.5. Векторне поле називають циліндричним, якщо а) всі його вектор-
ні лінії — промені, перпендикулярні до деякої прямої MN, яка називається віссю поля;
б) модуль векторного поля залежить тільки від відстані ρ до осі. ✓

Циліндричним полем є напруженість електричного поля, створеного нескінченною рівно-
−→ τ −→ −→
мірно зарядженою лінією з лінійною густиною τ. E (x, y, z) = · e , де e — орт, направ-
2πεε 0 ρ
лений від осі до точки M і перпендикулярний до осі.
−→
− →
Складемо диференціальне рівняння векторних ліній поля a = (a x , a y , a z ). Якщо r (t) —
−→
′
′
радіус-вектор точок ліній L — r (t) = (x(t), y(t), z(t)), то вектор r (t) = (x (t), y (t), z (t))
−→′
′
67