Page 68 - 4443

Елементи теорії поля

напрямлений по дотичній до цієї лінії. Отже, і вектор

−→
′
d r = (x (t)dt, y (t)dt, z (t)dt) = (dx, dy, dz)
′
′
−→
також напрямлений по дотичній до векторної лінії. Тоді, за означенням, вектори a = (a x , a y , a z )
−→
і d r = (dx, dy, dz) — колінеарні, тобто їх координати пропорційні, тому рівняння векторних
ліній шукається із такої системи диференційних рівнянь:
dx dy dz
= = . (9.1)
a x (x, y, z) a y (x, y, z) a z (x, y, z)

−→
Приклад 9.3. Побудувати векторну лінію поля a = {x, −y, −2z}, що проходить
через точку M 0 (1, −1, 2). ,

Розв’язання. Складемо систему рівнянь векторних ліній

dx dy dz
= =
x −y −2z

або
dx dy dy dz
= − i = .
x y y 2z
Проінтегрувавши, одержимо систему поверхонь

2
xy = C 1 , y = C 2 z.
З умови проходження їх лінії перетину через точку M 0 (1, −1, 2) знаходимо C 1 = −1, C 2 = , тоб-
1
2
2
то xy = −1, y = 1 z. Отже, векторною лінією є лінія перетину гіперболічного циліндра xy = 1 з
2
1
2
параболічним циліндром y = z.
2
Просторові області, що повністю складаються з векторних ліній, називаються векторними
−→
трубками. У кожній точці поверхні векторної трубки вектор a (M) лежить в дотичній площині
−→
до її поверхні, тобто вектор a в точці M поверхні Ω його векторної трубки утворює з нормаллю
−→ −→ − →0
n (M) до цієї поверхні прямий кут; отже, скалярний добуток ( a (M), n (M)) = 0, M ∈ Ω.
Тоді поверхневий інтеграл по поверхні трубки дорівнює нулю
x
−→
−→0
( a (M), n (M))dσ = 0. (9.2)
Ω
−→
Можна дати гідродинамічне тлумачення векторної трубки. Якщо векторне поле a є полем
швидкостей рухомої рідини, то векторна трубка — це та частина простору, яку „замітає“ при
своєму переміщенні деякий фіксований об’єм рідини.
Зупинимося на питанні векторних ліній поля grad u — на так званих лініях градієнта. За
властивістю градієнта поля u, лінія градієнта — це крива вздовж, якої функція u(x, y, z) макси-
мально зростає (або максимально спадає). Крім того, лінія градієнта завжди ортогональна до
лінії рівня поля u.
′
′
Оскільки grad u = (u , u , u ), то, згідно (9.1), лінії градієнта описуються наступною систе-
′
y
x
z
мою диференціальних рівнянь
dx dy dz
= = . (9.3)
u ′ x u ′ y u ′ z
68