Page 73 - 4443

Соленоїдне поле

Нехай S — гладка поверхня, обмежена замкненим гладким контуром L.

Теорема 9.4.
−→
(Стокса) Нехай функції a x , a y , a z — неперервно диференційовні у області G, n =
(cos α, cos β, cos γ) — вектор зовнішньої нормалі до S. Тоді

I cos α cos β cos γ
x
∂ ∂ ∂
a x dx + a y dy + a z dz = dS або
∂x ∂y ∂z
S
L a x a y a z
I
x
−→ −→
−→ −→
( a , d r ) = (rot a , n )dS (формула Стокса),
L S
−→
де d r = (dx, dy, dz). ⋆
Зауваження 9.1. Формула Ґріна є частковим випадком формули Стокса. Дійсно,

якщо S — частина площини Oxy, то z = 0, dz = 0, cos α = cos β = 0, cos γ = 1 і
з формул Стокса отримуємо формулу Ґріна.

Зауваження 9.2. Теорема Стокса у термінах характеристик векторного поля
звучить так: циркуляція векторного поля a вздовж контуру L дорівнює потоку ротора
−→
цього поля через поверхню S, яка спирається на цей контур.

Теорема 9.5.

−→
(геометричний зміст ротора) Нехай a — неперервно диференційовне векторне поле
−→
3
у області G ⊂ R , M 0 — фіксована точка із G, ν — довільний одиничний вектор, α
−→
— площина, перпендикулярна до ν (α ⊥ ν ) і проходить через точку M 0 , S — обме-
−→
жена область у площині α, d(S) —діаметр області S, rot−→ a (M 0 ) — проекція вектора
ν
−→
rot a (M 0 ) на вектор ν. L — межа області S. Тоді
H −→ −→
( a , d r )
−→
rot ν a (M 0 ) = lim L ,
d(s)→0 µ(S)
−→
де d r = (dx, dy, dz), µ(S) — площа поверхні S. ⋆

Теорема 9.6.

Векторне поле соленоїдне тоді і тільки тоді, коли його потік через довільну замкнену
s − → −→
поверхню рівний нулю ∀S ( a , n )dS = 0. ⋆
S

73