Page 71 - 4443

Диференціальні характеристики векторних полів

Лінія інтегрування задана рівняннями у параметричному виді. Враховуючи напрям інтегрування, маємо

2π
∫
2
C = − (sin t(−3 sin t) + 3 cos t cos t)dt =
0
2π 2π
∫ ∫
3
3 2
= − (−3 sin t + 3 cos t)dt = − (1 − cos 2t)dt = −3π.
2
0 0

Означення 9.9. Ротором (вихором) rot a (M) векторного поля a (M) у точці M на-
−→
− →
−→ −→ −→
i j k
−→ −→
− →
зивається векторне поле rot a (M) = ∂ ∂ ∂ = ( ∂a z − ∂a y ) i + ( ∂a x − ∂a z ) j +
∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x

a x a y a z
−→
( ∂a y − ∂a x ) k . ✓
∂x ∂y
Можна обґрунтувати, що ротор — це вектор, в напрямі якого густина циркуляції в даній
точці є найбільшою і модуль якого дорівнює цій найбільшій густині циркуляції.

−→
−→
− →
2
2
k в точці
Приклад 9.7. Знайти ротор векторного поля a = 2x y i − yz j + x −→
y
M 0 (−1, 1, 2). ,
x
Розв’язання. Маємо a x = 2x y, a y = −yz , a z = . Тоді
2
2
y

−→ −→ −→
i j k ( ) ( )
−→ x −→ 1
−→ ∂ ∂ ∂
rot a (M 0 ) = = i − + 2yz − j − 0 +
∂x ∂y ∂z 2
2 2 x y y
2x y −yz M 0 M 0
y
M 0

− → −→ −→ −→
+ k (0 − 2x ) = 5 i − j − 2 k .
2

M 0
Введемо у розгляд так званий векторний диференціальний оператор Гамільтона (оператор
набла):
−→ ∂ −→ ∂ −→ ∂
∇ = i + j + k .
∂x ∂y ∂z
Позначимо ∇ x = ∂ , ∇ y = ∂ , ∇ z = ∂ — “проекції” на осі координат. Цей оператор не
∂x ∂y ∂ z
є вектором у звичному розумінні цього слова, але він спрощує запис багатьох співвідношень
векторного аналізу. Зокрема,
grad u(x, y, z) = ∇u(x, y, z);

− → −→ −→

i j k

−→
−→
rot a (x, y, z) = [∇, a ] = ∂ ∂ ∂ ;
∂x ∂y ∂z

a x a y a z
−→
− →
div a (x, y, z) = (∇, a (x, y, z)).
71