Page 72 - 4443

Елементи теорії поля

Теорема 9.1.
−→
−→
Якщо u, a , b — двічі неперервно диференційовні відповідно скалярні та векторні поля,
то справджуються такі рівності:
а) rot grad u = 0 (бо rot grad u = ∇ × ∇u = (∇ × ∇)u = 0);
−→
б) div rot a = 0;
2
2
2 +
в) div grad u = ∆u, де ∆u = ∂ u ∂ u 2 — оператор Лапласа;
∂x ∂y
−→
−→
− →
г) div u a = u div a + (grad u, a );
−→
−→
−→
− →
ґ) div( a + b ) = div a + div b ;
− →
−→
д) div c = 0, де c — сталий вектор;
−→
−→
−→
е) div(u c ) = ( c , grad u), де c — сталий вектор;
− → −→ −→
−→
ж) rot( a + b ) = rot a + rot b ;
− →
−→
−→
з) rot c = 0 , де c — сталий вектор;
−→
− →
−→
и) rot(u a ) = u rot a + grad u × a . ⋆
Соленоїдне поле
Означення 9.10. Соленоїдним (трубчастим) називається векторне поле, у кожній
точці якого дивергенція дорівнює нулю div a = 0. Таке поле немає ні джерел (вито-
−→
ків), ні стоків.
3
Розглянемо у векторному полі довільну область у R , обмежену кусково-гладкою поверхнею S.
Теорема 9.2.
(Гауса-Остроградського) Потік векторного поля через замкнену поверхню дорівнює
інтегралу по об’єму, обмеженому поверхнею, від дивергенції цього поля, тобто:
x y
− →
−→ −→
( a , n )dS = div a dV або
S V
( )
x y
∂a x ∂a y ∂a z
a x dydz + a y dzdx + a z dxdy = + + dxdydz,
∂x ∂y ∂z
S V
−→
де n — зовнішня нормаль до кусково-гладкої замкненої поверхні S. ⋆
Для соленоїдних полів справджується принцип збереження інтенсивності векторної трубки:

у соленоїдному полі потоки вектора через різні перерізи векторної трубки рівні між собою.

Теорема 9.3.
−→
(геометричний зміст дивергенції) Нехай a — неперервно диференційовне у області
3
G ⊂ R векторне поле, а область G обмежена кусково-гладкою поверхнею S, ∆S —
замкнена кусково-гладка поверхня, що оточує точку M(x, y, z) та обмежує об’єм ∆V,
тоді: s
−→ −→
( a , n )dS
∆S − →
lim = div a (x, y, z).
∆V →0 ∆V

72