Page 74 - 4443
P. 74

Елементи теорії поля


                     Потенціальне поле




                                                        −→
                Означення 9.11. Векторне поле a (x, y, z) називається потенціальним у області D,
                якщо воно є градієнтом деякої скалярної функції u(x, y, z), тобто


                                                 − →
                                                  a (x, y, z) = grad u(x, y, z).




                Означення 9.12. Скалярне поле u(M) називається потенціальною функцією або по-
                                                                           −→
                                              −→
                тенціалом векторного поля a (M) у області D, якщо a (M) = grad u(M) у D.                    ✓


                Теорема 9.7.
                                                         3
                Нехай у однозв’язній області G ⊂ R задано неперервно диференційовне векторне
                      −→
                поле a (x, y, z). Тоді такі твердження рівносильні:
                      −→
                    1) a — потенціальне векторне поле;
                   2) в області G існує потенціальна векторна функція u = u(M) векторного поля
                      −→
                       a (M);
                                                           −→
                            − →
                   3) поле a — безроторне, тобто rot a (x, y, z) = 0 у області G;
                                        −→
                   4) циркуляція поля a вздовж довільної замкненої гладкої кривої з області D дорів-
                      нює нулю.                                                                             ⋆




                                                                                                           −→
                                                                                                      −→
                                                                                        −→
                                                                          −→
                                                                                               2
                Приклад 9.8. Перевірити потенціальність поля a = (2xy+z) i +(x −2y) j +x k
                і знайти його потенціал.                                                                    ,
                 Розв’язання. Маємо a x = 2xy + z, a y = x − 2y, a z = x. Тоді
                                                             2
                                    − →       − →    −→

                                    i         j      k
                                                                −→           −→             −→   − →
                           −→
                        rot a =     ∂         ∂      ∂   = (0 − 0) i + (1 − 1) j + (2x − 2x) k = 0 ,
                                    ∂x       ∂y     ∂z
                                  2xy + z x − 2y      x
                                            2
                 тобто a — безроторне поле. Знайдемо його потенціал.
                       − →
                                         ∫  x               ∫  y                 ∫  z
                            u(x, y, z) =    a x (t, y 0 , z 0 )dt +  a y (x 0 , t, z 0 )dt +  a y (x, y, t)dt =
                                          x 0                 y 0                 z 0
                                      x                y                z
                                    ∫               ∫                 ∫                  t=x

                                                          2
                                                                                  2
                                  =    (2t + 1)dt +     (x − 2t)dt +     xdt = (t + 1)    +

                                     1                1                1                t=1

                                    t=y     t=z
                                                   2                  2     2     2
                           2
                       +(x t − t )     + xt    = (x + x − 1 − 1) + (x y − y − x + 1) + (xz − x) =
                                 2

                                    t=1     t=1
                                                               2
                                                         2
                                                     = x y − y + xz − 1.
                                                              74
   69   70   71   72   73   74   75   76   77   78   79