Page 74 - 4443
P. 74
Елементи теорії поля
Потенціальне поле
−→
Означення 9.11. Векторне поле a (x, y, z) називається потенціальним у області D,
якщо воно є градієнтом деякої скалярної функції u(x, y, z), тобто
− →
a (x, y, z) = grad u(x, y, z).
Означення 9.12. Скалярне поле u(M) називається потенціальною функцією або по-
−→
−→
тенціалом векторного поля a (M) у області D, якщо a (M) = grad u(M) у D. ✓
Теорема 9.7.
3
Нехай у однозв’язній області G ⊂ R задано неперервно диференційовне векторне
−→
поле a (x, y, z). Тоді такі твердження рівносильні:
−→
1) a — потенціальне векторне поле;
2) в області G існує потенціальна векторна функція u = u(M) векторного поля
−→
a (M);
−→
− →
3) поле a — безроторне, тобто rot a (x, y, z) = 0 у області G;
−→
4) циркуляція поля a вздовж довільної замкненої гладкої кривої з області D дорів-
нює нулю. ⋆
−→
−→
−→
−→
2
Приклад 9.8. Перевірити потенціальність поля a = (2xy+z) i +(x −2y) j +x k
і знайти його потенціал. ,
Розв’язання. Маємо a x = 2xy + z, a y = x − 2y, a z = x. Тоді
2
− → − → −→
i j k
−→ −→ −→ − →
−→
rot a = ∂ ∂ ∂ = (0 − 0) i + (1 − 1) j + (2x − 2x) k = 0 ,
∂x ∂y ∂z
2xy + z x − 2y x
2
тобто a — безроторне поле. Знайдемо його потенціал.
− →
∫ x ∫ y ∫ z
u(x, y, z) = a x (t, y 0 , z 0 )dt + a y (x 0 , t, z 0 )dt + a y (x, y, t)dt =
x 0 y 0 z 0
x y z
∫ ∫ ∫ t=x
2
2
= (2t + 1)dt + (x − 2t)dt + xdt = (t + 1) +
1 1 1 t=1
t=y t=z
2 2 2 2
2
+(x t − t ) + xt = (x + x − 1 − 1) + (x y − y − x + 1) + (xz − x) =
2
t=1 t=1
2
2
= x y − y + xz − 1.
74