Page 64 - 4443

Поверхневі інтеграли другого роду

−→
стороні поверхні σ 1 . Враховуючи кути між нормаллю n та віссю Oz, дістаємо
∂R
y x x x
dxdydz = R(x, y, z)dxdy + R(x, y, z)dxdy = R(x, y, z)dxdy. (8.8)
∂z
G σ 1 σ 2 σ

Аналогічно, припустивши, що функції P(x, y, z), Q(x, y, z), ∂P , ∂Q неперервні в області G,
∂x ∂y
можна дістати формули:
y x
∂P
dxdydz = P(x, y, z)dydz, (8.9)
∂x
G σ
∂Q
y x
dxdydz = Q(x, y, z)dydz. (8.10)
∂y
G σ
Додавши почленно рівності (8.8), (8.9) i (8.10), дістанемо формулу
( )
y x
∂P ∂Q ∂R
+ + dxdydz = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy, (8.11)
∂x ∂y ∂z
G σ
яку називають формулою Остроградського — Гауса. Ця формула справедлива і для довільної
області G, яку можна розбити на скінченне число областей, для яких виконуються рівності
(8.8)-(8.10).
За допомогою формули Остроградського - Гауса зручно обчислювати поверхневі інтеграли
по замкнених поверхнях.

Приклад 8.3. Обчислити поверхневий інтеграл

x
2
I = x dydz + 3ydxdz − 2zxdxdy,
σ

де σ — зовнішня сторона піраміди, обмеженої площинами x = 0, y = 0, z = 0,
x + y + z − 1 = 0. ,

Розв’язання. Скористаємось формулою (8.11):

∂P ∂Q ∂R
2
P = x ; Q = 3y, R = −2zx; = 2x; = 3; = −2x;
∂x ∂y ∂z
1 1−x 1−x−y
∫ ∫ ∫
y y 1
I = (2x + 3 − 2x)dxdydz = 3 dxdydz = dx dy dz = .
2
G G
0 0 0

Формула Стокса

Формула Стокса встановлює зв’язок між поверхневим і криволінійним інтегралами. Нехай σ —
′
′
поверхня, задана рівнянням z = z(x, y), причому функції z(x, y), z (x, y), z (x, y) — неперервні
x y
в області D — проекції поверхні σ на площину Oxy; L — контур, який обмежує σ, а l — проекція
контуру L на площину Oxy, тобто l — межа області D. Виберемо верхню сторону поверхні σ.

64