Page 63 - 4443

Формула Остроградського - Гауса

Розв’язання. Знайдемо проекції поверхні σ на координатні площини:

D xy = {x − 1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 1};

D xz = {0 ≤ z ≤ 2 − 2x, 0 ≤ x ≤ 1};
D yz = {0 ≤ z ≤ 2 − 2y, −1 ≤ y ≤ 0}.

−→
Визначимо нормальний вектор n 0 до поверхні σ :
φ(x, y, z) = 2x − 2y + z − 2;

−→
′
′
′
k .
φ = 2, φ = −2, φ = 1, n 0 = 2−→ 2−→ 1−→
j +
i −
x
y
z
3 3 3
Оскільки
2
\
\
− →
−→
− →
−→
−→
−→
cos α = cos( n , Ox) = n 0 · i = 2 > 0; cos β = cos( n , Oy) = n 0 · j = − < 0;
3 3
\
−→
−→
−→
cos γ = cos( n , Oz) = n 0 · k = 1 > 0.
3
то перед подвійними інтегралами у формулах (8.5) і (8.6) треба брати знак „плюс“, а перед подвійним
інтегралом у формулі (8.7) — знак „мінус“. Отже,
0 2−2y 1 2−2x 1 0
∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫
1 3z
I = (2 − z + 2y) − y + dy − dx xdz + (2x − 2y − 2)dy = 7.
2 2
−1 0 0 0 0 x−1
Формула Остроградського - Гауса
Формула Остроградського - Гауса встановлює зв’язок між поверхневим інтегралом по замкне-
ній поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею. Ця
формула є аналогом формули Ґріна, яка, як відомо, встановлює зв’язок криволінійного інтегра-
ла по замкненому контуру з подвійним інтегралом по плоскій області, обмеженій цим контуром.
Нехай замкнена область G обмежена замкненою поверхнею σ, причому знизу та зверху
обмежена гладкими поверхнями σ 1 та σ 2 , рівняння яких z = z 1 (x, y), та z = z 2 (x, y). При-
пустимо, що проекцією області G на площину Oxy є область D. Нехай в області G визначено
неперервну функцію R(x, y, z), яка в цій області має неперервну похідну ∂R .
∂z
Розглянемо потрійний інтеграл

z 2 (x,y)
y ∂R x ∫ ∂R x
dxdydz = dxdy dz = R(x, y, z 2 (x, y))dxdy−
∂z ∂z
G D D
z 1 (x,y)
x
− R(x, y, z 1 (x, y))dxdy.
D

У правій частині цієї рівності перший подвійний інтеграл запишемо за допомогою поверх-
невого інтеграла по зовнішній стороні поверхні σ 2 , а другий подвійний інтеграл — по зовнішній

63