Page 62 - 4443

Поверхневі інтеграли другого роду

x x x
= ± P(x(y, z), y, z)dydz ± Q(x, y(x, z), z)dxdz ± R(x, y, z(x, y))dxdy.
D yz D xz σ

Правильність вибору знаків перед подвійними інтегралами можна перевірити за допомогою
формули
−→ −→ −→
φ i + φ j + φ k
′
′
′
−→ x y z
n 0 = ± √ ,
φ ′ 2 + φ ′ 2 + φ ′ 2
x y z
яка визначає одиничний нормальний вектор до поверхні φ(x, y, z) = 0. Подвійний знак у цій
формулі відповідає двом сторонам поверхні σ. З формули (8.3) випливає, що знак перед подвій-
−→
ним інтегралом збігається із знаком відповідного напрямного косинуса нормалі n :
\
\
−→
−→
−→
−→
−→
− →
cos α = cos( n , Ox) = n 0 · i ; cos β = cos( n , Oy) = n 0 · j ;
\
− →
−→
−→
cos γ = cos( n , Oz) = n 0 · k .
Якщо поверхня σ неоднозначно проектується на яку-небудь координатну площину, то цю по-
верхню розбивають на частини, а інтеграл (8.3) на суму інтегралів по одержаних частинах по-
верхні σ.
s
2
Приклад 8.1. Обчислити поверхневий інтеграл другого роду: I = xz dxdy +
σ
2
2
2
xdydz + dxdz, де σ — зовнішня сторона сфери x + y + z = 1 розміщена у першому
октанті. ,
Розв’язання. Нехай D xy , D yz , D xz — проекції цієї поверхні на координатні площини. Це чверті кругів
з центром у точці O(0, 0) і радіусом 1. Тоді

π/2 1
∫ ∫ ∫
x 2
2
2
2
2
2
xz dxdy = x(1 − x − y )dxdy = dφ ρ cos φ(1 − ρ )dρ = .
15
σ
D 0 0
2π 1
∫ ∫
x
x √
√ π
2
2
2
xdydz = 1 − y − z dydz = dφ 1 − ρ ρdρ = .
6
σ σ
0 0
x x π 2 π π 2 5
dxdz = dxdz = ; I = + + = + π.
4 15 4 6 15 12
σ D xz
Приклад 8.2. Обчислити інтеграл
x 3
I = (x − y + x)dydz + zdxdz − zdxdy,
2
σ
якщо σ — зовнішня сторона трикутника, утвореного перетином площини 2x−2y+z−2 =
0 з координатними площинами. ,

62