Page 61 - 4443

Обчислення поверхневих інтегралів другого роду

− → −→ −→ −→
Якщо, наприклад, вектор F = P i +Q j +R k є швидкість рідини, то кількість Π рідини, яка
протікає через поверхню σ за одиницю часу, називається потоком вектора F через поверхню σ
і знаходиться за формулою:
x
Π = (P cos α + Q cos β + R cos γ)dσ.

σ
В цьому полягає фізичний зміст поверхневого інтеграла другого роду. Зрозуміло, коли ве-
−→
ктор F має іншу природу, поверхневий інтеграл має інший фізичний зміст.
Формула (8.3) виражає загальний поверхневий інтеграл другого роду через поверхневий
інтеграл першого роду.

Обчислення поверхневих інтегралів другого роду

Поверхневі інтеграли другого роду обчислюються за допомогою подвійних інтегралів.
Нехай функція R(x, y, z) неперервна в усіх точках гладкої поверхні σ, яка задана рівнянням
z = z(x, y), (x, y) ∈ D xy , де область D xy — проекція поверхні σ на площину Oxy. Виберемо
верхню сторону поверхні σ, де нормаль до поверхні утворює з віссю Oz гострий кут, тоді ∆S i >
0, i = 1, 2, . . . , n. Оскільки z i = z(ξ i , η i ), то суму (6.33) можна записати у вигляді

n n
∑ ∑
R(ξ i , η i , ζ i )∆S i = R(ξ i , η i , z(ξ i , η i ))∆S i . (8.4)
i=1 i=1
У правій частині рівності (8.4) міститься інтегральна сума для функції R(x, y, z(x, y)). Ця фун-
кція неперервна в області D xy , тому інтегровна в ній.
Перейшовши в рівності (8.4) до границі при λ → 0, дістанемо формулу
x x
R(x, y, z)dxdy = R(x, y, z(x, y))dxdy,
σ D xy

яка виражає поверхневий інтеграл другого роду по змінних x і y через подвійний. Якщо вибрати
нижню сторону поверхні (нормаль до поверхні утворює з віссю Oz тупий кут), то одержаний
подвійний інтеграл беруть із знаком „мінус“, тому

x x
R(x, y, z)dxdy = ± R(x, y, z(x, y))dxdy. (8.5)
σ D xy

Аналогічно x x
P(x, y, z)dydz = ± P(x(y, z), y, z)dydz. (8.6)
σ D yz
x x
Q(x, y, z)dxdz = ± Q(x, y(x, z), z)dxdz. (8.7)
σ D xz
У формулі (8.6) гладку поверхню σ задано рівнянням x = x(y, z), а у формулі (8.7) — рівнян-
ням y = y(x, z). Знак „плюс“ беремо у цих формулах тоді, коли нормаль до поверхні утворює
відповідно з віссю Ox, з віссю Oy гострий кут, а знак „мінус“ — коли тупий кут; D yz , D xz —
проекції поверхні σ на площини Oyz та Oxz відповідно.
Для обчислення загального інтеграла (8.3) використовують формули (8.5) - (8.7), проекту-
ючи поверхню σ на всі три координатні площини. Таким чином,

x
P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =
σ

61