Page 60 - 4443

Поверхневі інтеграли другого роду

−→
Нехай σ — орієнтована (сторона уже обрана) поверхня, обмежена контуром L, який не має
точок самоперетину. Вважатимемо за додатний той напрям обходу контуру L, при якому спо-
стерігач, розміщений так, що напрям нормалі збігається з напрямом від ніг до голови при русі,
залишає поверхню зліва від себе.Протилежний напрям обходу називається від’ємним. Якщо
змінити орієнтацію поверхні на протилежну, то додатний і від’ємний напрями обходу контуру
L поміняються місцями.
З’ясуємо тепер поняття поверхневого інтеграла другого роду.
Нехай σ — гладка поверхня, задана рівнянням z = f(x, y) і R(x, y, z) — обмежена фун-
кція, визначена в точках поверхні σ. Зорієнтуємо поверхню σ. Розіб’ємо її довільно на n ча-
стин. Позначимо через D i проекцію i-ої частини поверхні σ i — на площину Oxy, а через ∆S i
— площу D i , взяту із знаком плюс, якщо обрана зовнішня сторона поверхні σ, і із знаком мі-
нус, якщо обрана внутрішня сторона поверхні σ. Виберемо в кожній частині σ i , довільну точку
M i (ξ i , η i , ζ i ) і складемо суму
n
∑
R(ξ i , η i , ζ i )∆S i . (8.1)
i=1
Вираз (8.1) називається інтегральною сумою. Нехай λ = max d(σ i ) — максимальний діаметр
1≤i≤n
поверхонь σ i .

Означення 8.3. Якщо при λ → 0 інтегральні суми (8.1) мають скінченну гра-
ницю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні σ, ні від вибору точок
M i , то цю границю називають поверхневим інтегралом другого роду і позначають так:
s
R(x, y, z)dxdy.
σ

Отже, за означенням

n
x
∑
R(x, y, z)dxdy = lim R(ξ i , η i , ζ i )∆S i . (8.2)
λ→0
σ i=0
З означення поверхневого інтеграла другого роду випливає, що при зміні сторони поверхні на
протилежну інтеграл змінює знак, бо змінює знак ∆S i .
Поверхню σ можна також проектувати на координатні площини Oxz та Oyz. Тоді матиме-
s s
мо ще два поверхневі інтеграли P(x, y, z)dxdz; Q(x, y, z)dydz, де P(x, y, z), Q(x, y, z) —
σ σ
функції, визначені в точках поверхні σ.
Оскільки dxdy = cos γdσ, dxdz = cos βdσ, dydz = cos αdσ, де dσ — елемент площі поверхні
σ, α, β, γ — кути між нормаллю до поверхні σ та осями Ox, Oy, Oz відповідно, то справедливі
такі формули:
∫
x
P(x, y, z)dydz = P(x, y, z) cos αdσ;
σ
σ
∫
x
Q(x, y, z)dxdz = Q(x, y, z) cos βdσ;
σ σ
∫
x
R(x, y, z)dxdy = R(x, y, z) cos γdσ.
σ
σ
На практиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об’єднують усі названі, тобто

x x
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = (P cos α + Q cos β + R cos γ)dσ. (8.3)
σ σ

60