Page 59 - 4443

Приклад 7.1. Знайти момент інерції відносно осі Oz частини однорідної (γ = 1)
2
2
поверхні z = x + y , яка відтинається площиною z = 1. ,

√
√
′ 2
2
′ 2
2
′
Розв’язання. Знаходимо z = 2x; z = 2y; 1 + (z ) + (z ) = 1 + 4x + 4y . Момент
′
x
y
x
y
інерції
x x
√
2
2
2
2
2
2
I z = (x + y )dσ = (x + y ) 1 + 4x + 4y dxdy.
σ σ
Проекцією D поверхні σ на площину Oxy є круг x + y ≤ 1. Переходячи до нових координат, маємо
2
2
2π 1
∫ ∫ ( )
√ π 10 √ 2
2 2
I z = dφ 1 + 4ρ ρ dρ = 5 + .
8 3 15
0 0
2
2
Останній інтеграл знайдено заміною змінної: 1 + 4ρ = t .
Тема 8. Поверхневі інтеграли другого роду
Поняття про поверхневі інтеграли другого роду
Введемо поняття сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні σ довільну точку M, проведе-
− →
мо в ній нормаль n певного напряму і розглянемо на поверхні σ довільний замкнений контур,
який виходить з точки M і повертається в точку M, не перетинаючи при цьому межі поверхні
−→
−→
σ. Переміщатимемо точку M по замкненому контуру разом з вектором n так, щоб вектор n
весь час залишався нормальним до σ. При обході заданого контуру ми можемо повернутися в
точку M з тим самим або з протилежним напрямом нормалі.
Означення 8.1. Якщо у довільну точку M поверхні σ після обходу довільного за-
мкненого контуру, розміщеного на поверхні σ, який не перетинає межу, ми поверта-
−→
ємось з початковим напрямом нормалі n , то поверхню називають двосторонньою.

Означення 8.2. Якщо при обході деякого контуру напрям нормалі змінюється
на протилежний, то поверхню називають односторонньою.

Прикладами двосторонніх поверхонь є площина, сфера, довільна замкнена поверхня без
самоперетинів, довільна поверхня, задана рівнянням z = f(x, y), де f(x, y), f (x, y), f (x, y) —
′
′
y
x
функції, неперервні в деякій області D площини Oxy.
Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса. Модель цієї поверхні можна
дістати, якщо прямокутну смужку паперу ABCD, перекрутивши один раз, склеїти так, щоб
точка A збігалась з C, а точка B — з D.
Двосторонню поверхню називають орієнтованою, а вибір певної її сторони орієнтацією по-
верхні. Спрямувавши в кожній точці замкненої поверхні нормаль всередину об’єму, обмежено-
го поверхнею, дістанемо внутрішню сторону поверхні, а спрямувавши нормаль зовні поверхні
— зовнішню її сторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні
— неорієнтовні.

59