Page 58 - 4443

Поверхневі інтеграли першого роду

тому з рівностей (7.2) і (7.3) випливає, що

x x √
′ 2
′ 2
f(x, y, z)dσ = f(x, y, z(x, y)) 1 + (z ) + (z ) dxdy. (7.4)
x y
σ D
Формула (7.4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по
проекції поверхні σ на площину Oxy.
Аналогічно можна дістати формули, що виражають інтеграл по поверхні σ через подвійні
інтеграли по її проекціях на площини Oxz та Oyz. Якщо поверхня σ задається рівнянням y =
y(x; z) або x = x(y, z), то

x x
√
′ 2
′ 2
f(x, y, z)dσ = f(x, y(x, z), z) 1 + (y ) + (y ) dxdz,
x z
σ D xz
або
x x √
′ 2
f(x, y, z)dσ = f(x(y, z), y, z) 1 + (x ) + (x ) dydz,
′ 2
z
y
σ D yz
де D xz , D yz — проекції поверхні σ на координатні площини Oxy та Oyz відповідно.

Застосування поверхневих інтегралів першого роду

Якщо у формулі (7.2) покласти f(x, y, z) = 1 на поверхні σ, то дістанемо

x
P = dσ, (7.5)
σ

де P — площа поверхні σ, тобто за допомогою поверхневого інтеграла першого роду можна
обчислювати площі поверхонь.
Переходячи у формулі (7.5) до подвійного інтеграла, дістаємо відому формулу обчислення
площі поверхні через визначений інтеграл.
Крім того, поверхневі інтеграли першого роду застосовують при обчисленні маси, коорди-
нат центра маси, моменту інерції матеріальної поверхні з відомою поверхневою густиною роз-
поділу маси. Виведення відповідних формул по суті не відрізняється від виводу аналогічних
формул для матеріальної пластинки.
Якщо на кусково-гладкій поверхні σ розподілено масу з поверхневою густиною γ = γ(x, y,
z), то:
а) маса матеріальної поверхні
x
m = γ(x, y, z)dσ;
σ
б) координати центру мас поверхні:

M yz 1 x M xz 1 x M xy 1 x
x c = = xγdσ; y c = = yγdσ; z c = = zγdσ;
m m m m m m
σ σ σ
де M xy , M yz , M xz — статичні моменти поверхні σ відносно площин Oyz, Oxz, Oxy;
s
2
2
в) моменти інерції відносно осей координат та початку координат: I x = (y + z )γdσ;
σ
s s s
2
2
2
2
2
2
2
I y = (x + z )γdσ; I z = (x + y )γdσ; I 0 = (x + y + z )γdσ.
σ σ σ
58