Page 57 - 4443

Обчислення поверхневих інтегралів першого роду

переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверх-
ня, яка складається із скінченного числа неперервно сполучених гладких поверхонь, називає-
ться кусково-гладкою.) Розіб’ємо поверхню σ на n довільних частин σ i без спільних внутрішніх
точок; нехай ∆σ i — площа, а diam(σ i ) — діаметр частини поверхні σ i , i = 1, 2, . . . , n. У кожній
частині σ i виберемо довільну точку M i (ξ i , η i ; ζ i ) і складемо суму
n
∑
f(ξ i , η i , ζ i )∆σ i . (7.1)
i=1
Цю суму називають інтегральною сумою для функції f(x, y, z) по поверхні σ.

Означення 7.1. Якщо при λ = max diam(σ i ) → 0 інтегральні суми (7.1) мають
1≤i≤n
скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні σ, ні від вибо-
ру точок M i цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції
f(x, y, z) по поверхні σ і позначають s f(x, y, z)dσ.
σ

Таким чином, за означенням

n
x ∑
f(x, y, z)dσ = lim f(ξ i , η i , ζ i )∆σ i . (7.2)
λ→0
σ i=1
У цьому разі функція f(x, y, z) називається інтегровною по поверхні σ, а поверхня σ — областю
інтегрування.

Зауваження 7.1. Якщо функція f(x, y, z) неперервна на поверхні σ, то вона інте-
гровна по σ.

Обчислення поверхневих інтегралів першого роду

Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інте-
грала.
Нехай гладка поверхня σ, задана рівнянням z = z(x, y), проектується на площину Oxy
в область D. Припустимо, що функція f(x, y, z) неперервна на поверхні σ, а функції z(x, y),
′
′
z (x, y), z (x, y) неперервні в області D.
x x
Внаслідок розбиття поверхні σ на частини σ i область D розіб’ється на частини S i , які є
відповідними проекціями частин σ i на площину Oxy. Якщо ∆S i — площа області S i , ∆σ i —
площа поверхні σ i , то (див. п. 3 на с.21)
√
∆σ i = 1 + (z (ξ i , η i )) + (z (ξ i , η i )) ∆S i ,
2
2
′
′
x
y
тому інтегральну суму (7.1) можна записати у вигляді
n n
∑ ∑ √
2
2
f(ξ i , η i , ζ i )∆σ i = f(ξ i , η i , z(ξ i , η i )) 1 + (z (ξ i , η i )) + (z (ξ i , η i )) ∆S i . (7.3)
′
′
x y
i=1 i=1
Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції
√
′ 2
′ 2
f(x, y, z(x, y)) 1 + (z ) + (z ) , (x, y) ∈ D,
x
y
57