Page 56 - 4443

Поверхневі інтеграли першого роду

Отже;
2 1
∫ ∫
2
2
I = x dx + (4 − 4y + y )dy = 5.
0 0

Приклад 6.10. Впевнитись, що вираз

( ) ( )
1 1 2 x
+ dx + − dy
x y y y 2

є повним диференціалом деякої функції і знайти цю функцію. ,

Розв’язання. У даному разі функції

1 1 2 x
P = + , Q = −
x y y y 2

неперервні разом з частинними похідними ∂P = − 2 , ∂Q = − 2 на всій площині Oxy крім точки
1
1
∂y y ∂y y
O(0; 0). Оскільки рівність (6.22) виконується, то даний вираз є повним диференціалом деякої функції
u(x, y).
Для знаходження функції u(x, y) скористаємося формулою (6.31), де (x 0 ; y 0 ) — деяка фіксована точка,
наприклад (1; 1) (не можна брати x 0 = 0, y 0 = 0, бо в точці (0; 0) функції P(x, y) та Q(x, y) не
визначені):

x y y
∫ ∫ ∫ x ( ) ∫ ( )
1 2 x
u(x, y) = P(x, 1)dx + Q(x, y)dy + C = + 1 dx + − dy + C =
x y y 2
1 1 1 1
)
x ( y
x x
= (ln |x| + x) + 2 ln |y| + + C = ln |x| + 2 ln |y| + + C 1 ,

y y
1 1
де C 1 = C − 1 — довільна сталі.

Тема 7. Поверхневі інтеграли першого роду

Поняття поверхневих інтегралів першого роду

При розв’язуванні різних задач часто доводиться розглядати функції, визначені на деякій по-
верхні. Такими функціями є, наприклад, густина розподілу електричних зарядів на поверхні
провідника, поверхнева густина маси, розподіленої на поверхні, швидкість рідини, що проті-
кає через задану поверхню, освітленість поверхні тощо.
У цій лекції ми розглянемо інтеграли від функцій, заданих на поверхні — це так звані по-
верхневі інтеграли.
Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.
Нехай в точках деякої кусково-гладкої поверхні σ визначена обмежена функція f(M) =
f(x, y, z). (Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при

56