Page 55 - 4443

Інтегрування повних диференціалів

Аналогічну формулу дістаємо при інтегруванні по ламаній M 0 PM, де P(x 0 , y) :

x y
∫ ∫
u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x 0 , y)dy + C. (6.32)

x 0 y 0

Формули (6.31) і (6.32) дають змогу знайти первісну. Початкову точку (x 0 ; y 0 ) в цих формулах
треба вибирати так, щоб підінтегральні вирази якомога спрощувались.

Зауваження 6.5. Якщо за формулою (6.31) або (6.32) знайти первісну u(x, y),
то за формулою Ньютона - Лейбніца (6.30) можна обчислити інтеграл від повного дифе-
ренціала. Проте на практиці простіше виконати інтегрування по ламаній лінії, яка сполучає

точки (x ; y ) і (x ; y ) так, що сторони ламаної паралельні осям координат.
0
0
1
1
Зауваження 6.6. Формула для знаходження функції трьох змінних по її повному ди-
ференціалу du = Pdx + Qdy + Rdz має вигляд

x y z
∫ ∫ ∫
u(x, y, z) = P(x, y , z )dx + Q(x, y, z )dy + R(x, y, z)dz. (6.33)
0
0
0
x 0 y 0 z 0
Вона виводиться аналогічно формулі (6.31) при обчисленні криволінійного інтеграла

(x;y;z)
∫
Pdx + Qdy + Rdz

(x 0 ;y 0 ;z 0 )

по відповідній певним чином вибраній ламаній.

Приклад 6.9. Обчислити інтеграл

(2;1)
∫
2
2
2
2
I = (x + 2xy − y )dx + (x − 2xy + y )dy.
(0;0)

Розв’язання. Даний інтеграл не залежить від шляху інтегрування тому, що справджується рівність
(6.22):
2
2
2
2
P = x + 2xy − y , Q = x − 2xy + y ;
∂P ∂Q
= 2x − 2y, = 2x − 2y,
∂y ∂x
тобто ∂P = ∂Q на всій площині Oxy. Виконаємо інтегрування по ламаній OAB, де O(0, 0), A(2, 0),
∂y ∂x
B(0, 0). На відрізку OA : y = 0, dy = 0, 0 ≤ x ≤ 2; на відрізку AB : x = 2, dx = 0, 0 ≤ y ≤ 1.

55