Page 54 - 4443

Криволінійні інтеграли другого роду. Формула Ґріна

Інтегрування повних диференціалів

Нехай в деякій однозв’язній області D функції P(x, y) і Q(x, y) та їхні частинні похідні ∂P i ∂Q
∂y ∂x
неперервні, причому ∂P = ∂Q . Зафіксуємо точку M 0 (x 0 , y 0 ) і розглянемо функцію
∂y ∂x
(x;y)
∫
F(x, y) = Pdx + Qdy. (6.27)

(x 0 ;y 0 )

Тоді повний диференціал цієї функції

dF = Pdx + Qdy. (6.28)

Проте, як і для функцій однієї змінної, існує нескінченна кількість функцій двох змінних, для
яких вираз (6.28) є повним диференціалом; всі такі функції визначаються формулою u(x, y)+C,
де u(x, y) — яка-небудь з них, а C = const. Кожну з цих функцій називають первісною для
повного диференціала (6.28). Оскільки функція (6.27) — первісна, то

(x;y)
∫
Pdx + Qdy = u(x, y) + C. (6.29)

(x 0 ,y 0 )
Поклавши x = x 0 , y = y 0 , дістанемо C = u(x 0 , y 0 ), тому

(x;y)
∫
Pdx + Qdy = u(x; y) − u(x 0 , y 0 ).
(x 0 ,y 0 )

Зокрема, при x = x 1 , y = y 1 маємо

(x 1 ;y 1 )
∫
Pdx + Qdy = u(x 1 ; y 1 ) − u(x 0 ; y 0 ). (6.30)

(x 0 ,y 0 )
Формулу (6.30) називають формулою Ньютона - Лейбніца для криволінійного інтеграла від пов-
ного диференціала.
Розглянемо спосіб знаходження первісної. Оскільки криволінійний інтеграл (6.29) не зале-
жить від форми шляху інтегрування, то для знаходження первісної u(x, y) досить було б об-
числити цей інтеграл по довільній лінії, яка сполучає точки M 0 та M. Проте виявляється, що
найзручніше інтегрувати по ламаній лінії, яка сполучає точки M 0 і M так, що сторони ламаної
паралельні осям координат.
Обчислимо, наприклад, криволінійний інтеграл (6.29) від точки M 0 до точки M по ламаній
M 0 NM, де M 0 (x 0 , y 0 ), N(x, y 0 ), M(x, y). На відрізку M 0 N y = y 0 , dy = 0, а на відрізку NM
x = const, dx = 0, тому з формули (6.29) маємо

x y 0
∫ ∫
u(x, y) = P(x, y 0 )dx + Q(x, y)dy + C. (6.31)

x 0 y
де перший визначений інтеграл обчислюється при сталому значенні y = y 0 , а другий — при
сталому значенні x.

54