Page 53 - 4443

Умови незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху інтегрування

∫
2) криволінійний інтеграл Pdx+Qdy +Rdz не залежить від форми кривої інте-
AB
грування, яка сполучає точки A та B і лежить в області G;
3) вираз Pdx+Qdy+Rdz є повним диференціалом деякої функції u(x, y, z), визначеної
в області G;
4) в усіх точках області G виконуються рівності

∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P
= , = ; = . (6.26)
∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z
⋆

Приклад 6.7. Пояснити результати інтегрувань у прикладах 6.4 і 6.5. ,

Розв’язання. У прикладі 6.4 значення криволінійного інтеграла ∫ y dx + 2xydy не залежить від
2
AB
форми шляху інтегрування, бо виконується рівність (6.22); дійсно:

∂P ∂Q
2
P = y ; Q = 2xy; = = 2y,
∂y ∂x
тому результати інтегрувань а, б, в були однакові.
У прикладі 6.5 рівність (6.22) не виконується, тому значення інтеграла залежить від форми контуру
інтегрування.

∫
2
2
Приклад 6.8. Обчислити криволінійний інтеграл (x −y )dx−2xydy по довіль-
AB
ній кривій, яка сполучає точки A(0; 0) та B(1; 1). ,

Розв’язання. Перевіримо виконання рівності (6.22):

∂P ∂Q
2
2
P = x − y ; Q = −2xy; = = −2y.
∂y ∂x
Отже, значення інтеграла не залежатиме від того, якою кривою сполучено точки A(0, 0) та B(1, 1).
Обчислимо інтеграл по прямій y = x, яка сполучає ці точки; тоді

1
∫ ∫
2
2
2
2
(x − y )dx − 2xydy = −2 x dx = − .
3
AB 0

53