Page 52 - 4443

Криволінійні інтеграли другого роду. Формула Ґріна

За другою умовою інтеграл не залежить від форми кривої, тому шлях від N до C можна вва-
жати прямолінійним; тоді

x+∆x
∫ ∫ ∫
∆ x F = Pdx + Qdy = Pdx = Pdx.

NC NC x
Застосовуючи до останнього інтеграла теорему про середнє, дістанемо

∆ x F = P(x + θ∆x, y)∆x, 0 ≤ θ < 1,

звідки
∆ x F ∂F ∆ x F
= P(x + θ∆x, y), = lim = P(x, y),
∆x ∂x ∆x→0 ∆x
бо за умовою функція P(x, y) неперервна. Аналогічно доводимо, що ∂F = Q(x, y). Отже, умова 3
∂y
виконується.
3 ⇒ 4. Нехай існує функція F(x, y), (x, y) ∈ D, така, що dF = Pdx + Qdy, тоді F = P,
′
x
′
′′
′′
′
′
F = Q,ізатеоремоюпрозмішаніпохідніP = F xy = F yx = Q ,тобтодісталирівність(6.22).
y
x
y
4 ⇒ 1. Нехай виконується четверта умова і L — довільна замкнена кусково-гладка крива, яка
належитьобласті D іобмежує деяку область D .Застосовуючидо області D формулу Ґріна (це
∗
∗
ми можемо зробити, бо область D — однозв’язна) і враховуючи четверту умову, дістанемо
( ) I
x
∂Q ∂P
− dxdy = Pdx + Qdy = 0.
∂x ∂y
D ∗
L
Зауваження 6.3. З еквівалентності умов 1—4 доведеної теореми випливає, що умо-
ви 3 і 4 є необхідними і достатніми умовами, за яких криволінійний інтеграл не залежить
від форми шляху інтегрування. Проте для застосувань найбільш зручною, необхідною і до-
статньою умовою є рівність (6.22).

Зауваження 6.4. Аналогічна теорема справедлива для криволінійних інтегралів дру-
гого роду вздовж просторових кривих. Для її формулювання введемо поняття поверхне-
во-однозв’язної області. Тривимірна область O називається поверхнево-однозв’язною,

якщо на будь-який кусково-гладкий замкнений контур, який належить області D і не

має точок самоперетину, можна „натягнути плівку“, яка повністю належить області D.
Поверхнево-однозв’язними областями є куля, еліпсоїд, багатогранник і т. д., неоднозв’язною

— тор („бублик“).

Теорема 6.3.

Нехай функції P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) неперервні разом зі своїми похідними пер-
шого порядку в поверхнево однозв’язній області. Тоді еквівалентні такі твердження:
1) для довільної замкненої кусково-гладкої кривої L, що належить області G,
I
Pdx + Qdy + Rdz = 0;

L

52