Page 51 - 4443

Умови незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху інтегрування

Іншими словами, існує така функція F(x, y), визначена в області D, що dF =
Pdx + Qdy;
4) в усіх точках області D виконується рівність

∂P ∂Q
= . (6.22)
∂y ∂x
⋆

ДОВЕДЕННЯ. Доведемо теорему по схемі 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1, тобто покажемо, що
з першої умови випливає друга, з другої — третя, з третьої — четверта, а з четвертої — знову
перша. Цим еквівалентність всіх умов буде доведена.
1 ⇒ 2. Нехай MN і MPN — дві довільні криві, які належать області D, сполучають точки
M і N і утворюють в сумі замкнену криву L = MPNQM. Згідно першої умови маємо

I ∫ ∫
Pdx + Qdy = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy = 0,

L MPN NQM
тому
∫ ∫
Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy,
MPN NQM
або ∫ ∫
Pdx + Qdy Pdx + Qdy,
MPN MQN
тобто друга умова виконується.
∫
2 ⇒ 3. Нехай інтеграл Pdx + qdy не залежить від форми кривої, яка сполучає точки M
MN
та N, а залежить лише від точок M i N.
Якщо точку M зафіксувати: M = M(x 0 ; y 0 ), то цей інтеграл буде деякою функцією F(x, y)
координат x та y точки N(x, y) :

∫
F(x, y) = Pdx + Qdy. (6.23)

MN
Покажемо, що повний диференціал функції (6.23) збігається з підінтегральним виразом:

dF = Pdx + Qdy. (6.24)

Для цього достатньо показати, що в кожній точці N області D існують частинні похідні, причо-
му
∂F ∂F
= P(x, y), = Q(x, y). (6.25)
∂x ∂y
Оскількифункції P(x, y) iQ(x, y)заумовоюнеперервнів D, тоз (6.25)випливатимедиферен-
ційовність функції F(x, y) і рівність (6.24).
Доведемо, наприклад, що ∂F = P(x, y). Нехай M(x 0 , y 0 ), N(x, y), C(x + ∆x, y). Приріст
∂x
∆ x F дорівнює
∫ ∫ ∫
∆ x F =F(x + ∆x, y) = F(x, y) = Pdx + Qdy − Pdx + Qdy = Pdx + Qdy. 2

MC MN NC

51