Page 50 - 4443

Криволінійні інтеграли другого роду. Формула Ґріна

2
2
2
L — коло: x + y = R , а) безпосередньо; б) за формулою Ґріна.
Розв’язання. 1. Скористаємось параметричними рівняннями кола: x = R cos t, y = R sin t,

0 ≤ t ≤ 2π.
Тоді dx = −R sin tdt, dy = R cos tdt, тому

2π
∫
I = ((R cos t − 2R sin t)(−R sin t) + (R cos t + R sin t)R cos t)dt =
0
2π 2π
∫ ∫
1
2
2
= R 2 (1 + sin t)dt = R 2 (1 + (1 − cos 2t))dt = 3πR .
2
0 0
2. Такий самий результат дістаємо за формулою ріна:
∂P ∂Q
P = x − 2y, Q = x + y, = −2, = 1;
∂y ∂x
( )
x ∂Q ∂P x
2
I = − dxdy = 3 dxdy = 3πR .
∂x ∂y
D D

Умови незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху ін-

тегрування

Як уже зазначалось вище у прикладах 6.4 і 6.5, значення криволінійного інтеграла може за-
лежати від того, якою саме кривою сполучено крайні точки шляху інтегрування, а може і не
залежати. Якщо значення криволінійного інтеграла залишається однаковим по всіх можливих
кривих, які сполучають кінцеві точки кривої інтегрування, то кажуть, що криволінійний інте-
грал не залежить від форми шляху інтегрування.
З’ясуємо умови, за яких існує така незалежність. Нагадаємо, що однозв’язною називають
область, межа якої складається з однієї замкненої без точок самоперетину неперервної кусково-
гладкої кривої.
Теорема 6.2.

Нехай функції P(x, y) i Q(x, y) визначені і неперервні разом із своїми частинними похі-
дними ∂P i ∂Q в деякій замкненій однозв’язній області D. Тоді наступні чотири умови
∂y ∂x
еквівалентні тобто виконання якої-небудь однієї з них тягне за собою виконання
останніх трьох:
1) для довільної замкненої кусково-гладкої кривої, повністю розміщеної у області D,
H
Pdx + Qdy = 0;
L
∫
2) для довільних двох точок M та N області D значення інтеграла Pdx + Qdy
MN
не залежить від форми шляху інтегрування, який лежить в області D;
3) вираз Pdx + Qdy є повним диференціалом деякої функції, визначеної в області D.

50