Page 49 - 4443

Формула Ґріна

ДОВЕДЕННЯ. Нехай область D = {y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x), a ≤ x ≤ b} обмежена додатно
орієнтовним контуром L — межею MPNQM. Покажемо, що

x ∂P I
dxdy = − Pdx. (6.19)
∂y
D
L
Для цього зведемо подвійний інтеграл до повторного, виконаємо інтегрування по змінній y і до
знайдених визначених інтегралів застосуємо формулу (6.9):

b y 2 (x) b
x ∫ ∫ ∫ y 2 (x)
∂P ∂P
dydx = dx dy = P(x, y) dx =
∂y ∂y
D a y 1 (x) a y 1 (x)
b b b
∫ ∫ ∫
= (P(x, y 2 (x)) − P(x, y 1 (x)))dx = P(x, y 2 (x))dx − P(x, y 1 (x))dx =

a a a
∫ ∫ ∫ ∫ I
= P(x, y)dx− P(x, y)dx=− P(x, y)dx− P(x, y)dx=− Pdx. (6.20)
NPM NQM MPN NQM L

Аналогічно, вважаючи, що область D правильна в напрямі осі Ox : D = {x 1 (y) ≤ x ≤ x 2 (y), c ≤
y ≤ d}, можна впевнитися, що

x I
∂Q
dxdy = Qdy. (6.21)
∂x
D
L
Якщо від рівності (6.21) віднімемо рівність (6.20), то дістанемо формулу (6.18). 2

Зауваження 6.1. Ми вважали, що область D правильна. Насправді формула Ґріна

буде справедливою для довільної області, яку можна розбити на скінченне число правильних
областей. Нехай, наприклад, область D складається з двох правильних областей: D i D .
2
1
Запишемо формулу (6.18) для кожної з цих областей і додамо почленно знайдені результати.
Зліва матимемо подвійний інтеграл по всій області D, а справа — криволінійний інтеграл

по межі цієї області, бо криволінійний інтеграл по допоміжній (середній) кривій, що є спільною
межею цих двох областей D i D , береться двічі в протилежних напрямах і при додаванні
1
2
взаємно знищується.

Зауваження 6.2. З формули Ґріна легко дістати формули для обчислення площі пло-

скої фігури: якщо у формулу (6.18) підставити P = −y, Q = 0, то дістанемо формулу
(6.12); якщо P = 0, Q = x — формулу (6.13).

H
Приклад 6.6. Обчислити криволінійний інтеграл I = (x − 2y)dx + (x + y)dy, де
L

49