Page 48 - 4443

Криволінійні інтеграли другого роду. Формула Ґріна

1
∫
∫
5
а) ydx + 2dy = (x + 2)dx = ;
2
AB 0
1
∫
б) ∫ ydx + 2dy = (x + 2 · 2x)dx = ;
7
2
3
AB 0
1
∫
∫
в) ydx + 2dy = (x 1/3 + x )dx = 11 .
2 −2/3
3 4
AB 0
Зазначимо, що в прикладі 6.4 інтегрування по трьох різних кривих, що сполучають одні й ті
самі точки, дає один і той самий результат. У прикладі 6.5 інтегрування по таких самих кривих
дає різні результати. Причина цього буде з’ясована вище.
Зв’язок між криволінійними інтегралами першого і другого роду
Позначимо через α та β кути, які утворює з осями координат напрямна дотична до кривої AB
у точці M(x; y). За додатний напрям дотичної беремо той, який відповідає напряму руху точки
по кривій від A до B. Враховуючи геометричний зміст диференціала функції та диференціала
дуги, маємо
dx = cos αdl, dy = cos βdl. (6.16)
Замінюючи в криволінійних інтегралах другого роду dx та dy їхніми значеннями (6.16), пе-
ретворимо ці інтеграли в криволінійні інтеграли першого роду:
∫ ∫
P(x, y)dx = P(x, y) cos αdl;

AB AB
∫ ∫
Q(x, y)dy = Q(x, y) cos βdl;
AB AB
∫ ∫
Pdx + Qdy = P cos αdl + Q cos βdl. (6.17)
AB AB
Формули (6.17) виражають криволінійні інтеграли другого роду через криволінійні інтегра-
ли першого роду і встановлюють зв’язок між ними. При зміні напряму руху точки по кривій
формули (6.17) не змінюються, бо при цьому змінюють знак dx, dy, cos α, cos β.

Формула ¥ріна

Формула Ґріна зв’язує подвійний інтеграл по області D з криволінійним інтегралом по межі L
цієї області. Вона широко застосовується у математичному аналізі.
Доведемо цю формулу для правильної області, контур якої обмежений гладкими чи кусково-
гладкими кривими.
Теорема 6.1.

Нехай D — деяка правильна область, обмежена замкненим контуром L, і функції P(x, y)
і Q(x, y) неперервні разом із своїми частинними похідними ∂P і ∂Q в цій області. Тоді
∂y ∂x
справджується формула Ґріна
( ) I
x
∂Q ∂P
− dxdy = Pdx + Qdy. (6.18)
∂x ∂y
D ⋆
L

48