Page 47 - 4443

Обчислення та застосування криволінійного інтеграла другого роду

Приклад 6.2. Знайти площу області, обмеженої еліпсом x = a cos t, y = a sin t. ,

Розв’язання. За формулою (6.14)

2π
I ∫
1 1
S = xdy − ydx = (a cos t · b cos t + b sin t · a sin t)dt =
2 2
L 0
2π 2π
∫ ∫
ab ab
2
2
= (cos t + sin t)dt = dt = πab.
2 2
0 0

−→ −→ −→
Приклад 6.3. Знайти роботу сили F = yx i + (y + x) j при переміщенні матері-
альної точки по прямій y = x із точки O(0; 0) в точку B(1; 1). ,

Розв’язання. За формулою (6.15)

1 1
∫ ∫ ∫
4
2
2
A = yxdx + (y + x)dy = (x dx + (x + x)dx) = (x + 2x)dx = .
3
OB 0 0

∫
2
Приклад 6.4. Обчислити криволінійний інтеграл y dx+2xydy від точки A(0; 0)
AB √
2
до точки B(1; 1) по лінії: а) y = x; б) y = x ; в) y = 3 x. ,

Розв’язання. Маємо:
1
∫ ∫
2
2
2
а) y = x, dy = dx; y dx + 2xydy = (x + 2x )dx = 1;
AB ∫ 0 ∫
2
4
2
2
б) y = x ; dy = 2xdx; y dx + 2xydy = (x + 2x · x · 2x)dx = 1;
AB AB
√ 2
в) y = 3 x, dy = x 3 dx;
1 −
3
1 1
∫ ∫ 1 ∫ 2
2
y dx + 2xydy = (x 2/3 + 2x · x 1/3 · x −2/3 )dx = (x 2/3 + x 2/3 )dx = 1.
3 3
AB 0 0
∫
Приклад 6.5. Обчислити криволінійний інтеграл ydx + 2dy від точки A(0; 0)
AB
до точки B(1; 1) по кривих а, б, в, які задані у попередньому прикладі. ,

Розв’язання. Маємо:

47