Page 46 - 4443

Криволінійні інтеграли другого роду. Формула Ґріна

b b
∫ ∫
= y 2 (x)dx − y 1 (x)dx = S,
a a

де S — площа області D.
Отже, площу S правильної області D, обмеженої кривою і, знаходять за формулою

I
S = − ydx. (6.12)
L

Аналогічно можна довести, що
I
S = xdy. (6.13)
L

Додаючи формули (6.12) і (6.13) почленно, дістаємо ще одну формулу для обчислення
площі:
I
1
S = xdy − ydx. (6.14)
2
L
−→ − → − →
2. Обчислення роботи. Нехай сила F = P(x, y) i + Q(x, y) j виконує роботу A при перемі-
щенні матеріальної точки вздовж кривої L, причому функції P(x, y) і Q(x, y), неперервні
на кривій L; тоді, як відомо,

∫
A = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. (6.15)

L

H
Приклад 6.1. Обчислити криволінійний інтеграл xydx + dy, де L — замкнений
L
2
контур, утворений лініями y = x , y = 1, x = 0.

Розв’язання. Нехай O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1).
Застосовуючи адитивність криволінійного інтеграла, маємо

I ∫ ∫ ∫
xydx + dy = xydx + dy + xydx + dy + xydx + dy.
L OA AB BO

З рівняння y = x лінії OA дістаємо dy = 2xdx, тому
2
1
∫ ∫
5
3
xydx + dy = (x dx + 2xdx) = ;
4
OA 0
0
∫
∫
1
з рівняння y = 1 лінії AB дістаємо dy = 0, тому xydx + dy = xdx = − ; з рівняння x = 0
2
AB a
0
лінії BO дістаємо dx = 0, тому ∫ xydx + dy = ∫ dy = −1; H xydx + dy = 5 − − 1 = − .
1
1
4 2 4
BO 1 L
46