Page 45 - 4443

Обчислення та застосування криволінійного інтеграла другого роду

і справджується формула

β
∫ ∫
Pdx + Qdy + Rdz = (P(x(t), y(t), z(t))x (t)+
′
AB α
+Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t))dt. (6.11)
′
′
Формули (6.6)-(6.11) використовуються для обчислення криволінійних інтегралів. З цих
формул випливає, що криволінійний інтеграл другого роду має властивості, аналогічні власти-
востям визначеного інтеграла.
На відміну від криволінійного інтеграла першого роду криволінійний інтеграл другого роду
залежить від напряму шляху інтегрування і при зміні цього напряму змінює свій знак:
∫ ∫
Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy.
AB BA
Це пов’язано з тим, що при зміні напряму руху по кривій, змінюються знаки проекцій ∆x i і
∆y i , в сумах (6.2) і (6.3). Часто доводиться розглядати криволінійні інтеграли по замкненому
контуру, тобто контуру інтегрування, в якому початкова та кінцева точки збігаються (мова йде
про замкнені контури без точок самоперетину).
Для замкненого контуру існує лише два напрями обходу: проти стрілки годинника (додатна
орієнтація контуру) та за стрілкою годинника (від’ємна орієнтація контуру). Іншими словами,
конту р вважається додатно орієнтованим, якщо при його обході область, обмежена цим конту-
ром, залишається зліва. Криволінійний інтеграл по додатно орієнтованому контуру L познача-
ють так: I
P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

L
Розглянемо два застосування криволінійного інтеграла другого роду.
1. Обчислення площі плоскої фігури. Нехай на площині (рис. 6.2) задана правильна область

D = {y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x), a ≤ x ≤ b}.

y

P
d

M
N D

c
Q
x
0 a b

Рисунок 6.2 – Правильна область D

Межу області D, тобто криву PNQM позначимо через L і вважатимемо додатно орієн-
H
тованою. Розглянемо інтеграл — ydx і зведемо його до визначених інтегралів:
 
I ∫ ∫ ∫ ∫
− ydx = −  ydx − ydx  = ydx − ydx =

L MQN NPM NPM MQN

45