Page 44 - 4443

Криволінійні інтеграли другого роду. Формула Ґріна

[α; β] неперервні разом із своїми похідними x (t) та y (t), причому точці A кривої відповідає
′
′
параметр α, а точці B — параметр β. Припустимо, що функція P(x, y) неперервна на кривій
AB, тоді за означенням
∫ n
∑
P(x, y)dx = lim P(ξ i , η i )∆x i . (6.5)
λ→0
i=1
AB
Але, згідно формули Лагранжа,
′
′
∆x i = x i − x i−1 = x(t i ) − x(t i−1 ) = x (τ)(t i − t i−1 ) = x (τ i )∆t i , τ i ∈ [t i−1 ; t i ].
Виберемо точку (ξ i ; η i ) так, щоб ξ i = x(τ i ), η i = y(τ i ). Тоді інтегральна сума у формулі (6.5)
набере вигляду
n
∑
P(x(τ i ), y(τ i ))x (τ i )∆t i .
′
i=1
Це інтегральна сума для функції P(x(t), y(t))x (t) на проміжку [α; β], тому
′
β
∫ ∫
P(x, y)dl = P(x(t), y(t))x (t)dt. (6.6)
′
AB α
Аналогічно доводяться формули

β
∫ ∫
Q(x, y)dy = Q(x(t), y(t))y (t)dt, (6.7)
′
AB α
β
∫ ∫
′
′
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = (P(x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t))dt. (6.8)
AB α
Зокрема, якщо крива AB задана рівнянням y = y(x), a ≤ x ≤ b, де функція y(x) і її похідна
′
y (x) неперервні на проміжку [a, b], то з формули (6.8) дістанемо
b
∫ ∫
′
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = (P(x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x))dx. (6.9)
AB a
Аналогічно, якщо крива AB задана рівнянням x = x(y), c ≤ y ≤ d, причому функції x(y)
та x (y) неперервні на проміжку [c; d], то
′
D
∫ ∫
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = (P(x(y), y)x (y) + Q(x(y), y))dy. (6.10)
′
AB c
Поняття криволінійного інтеграла другого роду можна поширити й на просторові криві.
Нехай функції P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) визначені і неперервні на просторовій кривій AB,
яку задано рівняннями

x = x(t), y = y(t), z = z(t), α ≤ t ≤ β,

′
′
де функції x(t), y(t), z(t) і їхні похідні x (t), y (t), z (t) неперервні на проміжку [α, β]. Тоді існує
′
криволінійний інтеграл
∫
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
AB

44