Page 43 - 4443

Обчислення та застосування криволінійного інтеграла другого роду

−−−−→
де ∆y i — проекція вектора A i−1 A i на вісь Oy (рис. 6.1).

Означення 6.2. Суму

∫ ∫
P(x, y)dx + Q(x, y)dy
AB AB

називають криволінійним інтегралом по координатах або криволінійним інтегралом дру-
гого роду від функцій P і Q по кривій AB і позначають символом криволінійний інте-
грал!другого роду
∫
P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

AB

Функції P(x, y) і Q(x, y) іноді позначатимемо через P і Q, а криволінійний інтеграл запи-
∫ ∫
суватимемо у вигляді Pdx + Qdy.
AB AB
Для того, щоб дати фізичну інтерпретацію криволінійного інтеграла другого роду, розгляне-
мо задачу про роботу змінної сили на криволінійному шляху. Нехай матеріальна точка M(x; y)
−→ −→ − →
під дією змінної сили F = P i + Q j , де P = P(x, y), Q = Q(x, y) — проекції сили на осі Ox
−→
та Oy, рухається на площині Oxy вздовж кривої BC. Треба обчислити роботу A сили F при
переміщенні точки M з точки B в точку C.
Розіб’ємо криву BC точками B = B 0 , B 1 , . . . , B i−1 , B i , . . . , B n = C на n частин і на кожній
| }
окремій дузі B i−1 B i візьмемо довільну точку M i (ξ i , η i ), i = 1, 2, . . . , n. На цю точку діє сила
−→ −→ −→
F (M i ) = P(M i ) i + M i (M i ) j . Роботу ∆A i , яку виконує ця сила при переміщенні точки по
−−−−→ −→ − →
вектору B i−1 B i = ∆ x i + ∆ y j можна знайти за допомогою скалярного добутку
− → −−−−→
∆A i = F (M i ) · B i−1 B i = P(ξ i , η i )δx i + Q(ξ i , η i )∆y i .
− →
Ця робота наближено дорівнює роботі змінної сили F при переміщенні матеріальної точки по
| }
дузі B i−1 B i довжиною ∆l i .
Робота сили вздовж усієї ламаної B 0 , B 1 , . . . , B i−1 , B i , . . . , B n дорівнює
n n
∑ ∑
A n = P(ξ i , η i )∆x i + Q(ξ i , η i )∆y i .
i=1 i=1
Цей вираз дає наближене значення шуканої роботи A. Перейшовши у ньому до границі при
λ = max ∆l i → 0, знайдемо точне її значення:
1≤i≤n
( )
n n ∫
∑ ∑
A = lim P(ξ i , η i )∆x i + Q(ξ i , η i )∆y i = Pdx + Qdy. (6.4)
λ→0
i=1 i=1
BC
Отже, з погляду фізики криволінійний інтеграл другого роду вздовж деякої кривої дорівнює
роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки вздовж цієї кривої.

Обчислення та застосування криволінійного інтеграла другого ро-

ду

Зведемо криволінійний інтеграл другого роду до визначеного інтеграла. Нехай крива AB задана
параметричними рівняннями x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, де функції x(t) та y(t) на відрізку

43