Page 42 - 4443

Криволінійні інтеграли другого роду. Формула Ґріна

Тема 6. Криволінійні інтеграли другого роду.

Формула Ґріна

Поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координа-

тах). Фізичний зміст

Криволінійний інтеграл другого роду визначається майже так само, як інтеграл першого роду.
Нехай у площині Oxy задано гладку чи кусково-гладку криву AB (рис. 6.1) і на цій кривій
визначено обмежену функцію P(x, y).
y
6 M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a
y i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a
∆y i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aM n
y i−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∆l i A n−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A i−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B = A n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 1
M 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
. . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O A = A 0 ∆x i -x
x i−1 x i
Рисунок 6.1 – Побудова криволінійного інтеграла другого роду

На відміну від інтегралів першого роду вважатимемо криву напрямною лінією, у якої точки
A та B є відповідно початковою та кінцевою точками. Розіб’ємо криву AB точками A = A 0 ,
A 1 , A 2 , . . . , A i , . . . , A n = B на n довільних частин, на кожній частинній дузі A i−1 A i виберемо
точку M i (ξ i , η i ), i = 1, 2, . . . , n і складемо суму
n
∑
P(ξ i , η i )∆x i , (6.1)
i=1
−−−−→
де ∆x i — проекція вектора A i−1 A i на вісь Ox.
Відмінність сум (5.1) і (6.1) очевидна.

Означення 6.1. Якщо при λ = max ∆l i → 0 інтегральні суми (6.1) мають скін-
1≤i≤n
ченну границю, яка не залежить ні від розбиття кривої AB, ні від вибору точок M i ,
то цю границю називають криволінійним інтегралом від функції P(x, y) по координаті x
вздовж кривої AB і позначають ∫ P(x, y)dx.
AB

Таким чином,
∫ n
∑
p(x, y)dx = lim P(ξ i , η i )∆x i . (6.2)
λ→0
i=1
AB
Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл від функції Q(x, y) по координаті y :
n
∫
∑
Q(x, y)dy = lim Q(ξ i , η i )∆y i , (6.3)
λ→0
i=1
AB
42