Page 41 - 4443

Застосування криволінійного інтеграла першого роду

z
6

. . . ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z = f(x, y)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .. . . . . . . . . . .
O - y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A

+ x
Рисунок 5.2 – Циліндрична поверхня

б) координати x c , y c центра маси кривої L знаходяться за формулами

∫ ∫
xγ(x, y)dl yγx, ydl
AB M y AB M x
x ц = ∫ = , y ц = ∫ = , (5.14)
γ(x, y)dl m γ(x, y)dl m
AB AB

де M x , M y — статичні моменти кривої L відносно осей Ox і Oy;
в) моменти інерції I x , I y , I 0 кривої L відносно осей Ox, Oy і початку координат відпо-
відно дорівнюють

∫ ∫ ∫
2
2
2
2
I x = y γ(x, y)dl, I y = x γ(x, y)dl, I 0 = (x + y )γ(x, y)dl. (5.15)
AB AB AB
У випадку, коли крива однорідна, тобто має сталу густину γ 0 , у формулах (5.13) -
(5.15) слід вважати γ(x, y) = γ 0 . Наприклад, треба знайти момент інерції I x відносно
осі Ox однорідної (γ 0 = 1) дуги кола x = 2 cos t, y = 2 sin t, яка міститься в першій
чверті.
Скориставшись першою з формул (5.15), матимемо

π/2 π/2
∫ ∫ ∫
√ 1 − cos 2t
2
2
2
I x = y dl = 2 sin t 4 sin t + 4 cos tdt = 8 dt = 2π.
2
2
L 0 0
Формули (5.11), (5.12) випливають з геометричного змісту криволінійного інтеграла пер-
шого роду.
Формули (5.13) - (5.15) можна довести тим самим методом, яким були знайдені відповідні
формули для матеріальної пластини. Формули (5.12) - (5.15) можна записати і для випадку,
коли підінтегральна функція розглядається на просторовій кривій.

41